Integral de (12-2x)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 12 - 2 x$.

      Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{u^{3}}{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{3}\, du = - \frac{\int u^{3}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{8}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(12 - 2 x\right)^{4}}{8}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(12 - 2 x\right)^{3} = - 8 x^{3} + 144 x^{2} - 864 x + 1728$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 8 x^{3}\right)\, dx = - 8 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 144 x^{2}\, dx = 144 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $48 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 864 x\right)\, dx = - 864 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 432 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1728\, dx = 1728 x$

      El resultado es: $- 2 x^{4} + 48 x^{3} - 432 x^{2} + 1728 x$

2. Ahora simplificar:

   $- 2 \left(x - 6\right)^{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 2 \left(x - 6\right)^{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 2 \left(x - 6\right)^{4}+ \mathrm{constant}$