Integral de (3x^2-2x+6)^8*(6x-2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \left(3 x^{2} - 2 x\right) + 6$.

      Luego que $du = \left(6 x - 2\right) dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{8}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\left(3 x^{2} - 2 x\right) + 6\right)^{9}}{9}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(6 x - 2\right) \left(\left(3 x^{2} - 2 x\right) + 6\right)^{8} = 39366 x^{17} - 223074 x^{16} + 1189728 x^{15} - 3965760 x^{14} + 12029472 x^{13} - 28068768 x^{12} + 59633280 x^{11} - 103834368 x^{10} + 164815680 x^{9} - 218656448 x^{8} + 263705088 x^{7} - 264305664 x^{6} + 238533120 x^{5} - 172730880 x^{4} + 109983744 x^{3} - 50761728 x^{2} + 19035648 x - 3359232$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 39366 x^{17}\, dx = 39366 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2187 x^{18}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 223074 x^{16}\right)\, dx = - 223074 \int x^{16}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 13122 x^{17}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1189728 x^{15}\, dx = 1189728 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $74358 x^{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3965760 x^{14}\right)\, dx = - 3965760 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 264384 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 12029472 x^{13}\, dx = 12029472 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $859248 x^{14}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 28068768 x^{12}\right)\, dx = - 28068768 \int x^{12}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2159136 x^{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 59633280 x^{11}\, dx = 59633280 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4969440 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 103834368 x^{10}\right)\, dx = - 103834368 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 9439488 x^{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 164815680 x^{9}\, dx = 164815680 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $16481568 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 218656448 x^{8}\right)\, dx = - 218656448 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{218656448 x^{9}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 263705088 x^{7}\, dx = 263705088 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $32963136 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 264305664 x^{6}\right)\, dx = - 264305664 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 37757952 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 238533120 x^{5}\, dx = 238533120 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $39755520 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 172730880 x^{4}\right)\, dx = - 172730880 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 34546176 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 109983744 x^{3}\, dx = 109983744 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $27495936 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 50761728 x^{2}\right)\, dx = - 50761728 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 16920576 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 19035648 x\, dx = 19035648 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $9517824 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-3359232\right)\, dx = - 3359232 x$

      El resultado es: $2187 x^{18} - 13122 x^{17} + 74358 x^{16} - 264384 x^{15} + 859248 x^{14} - 2159136 x^{13} + 4969440 x^{12} - 9439488 x^{11} + 16481568 x^{10} - \frac{218656448 x^{9}}{9} + 32963136 x^{8} - 37757952 x^{7} + 39755520 x^{6} - 34546176 x^{5} + 27495936 x^{4} - 16920576 x^{3} + 9517824 x^{2} - 3359232 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(3 x^{2} - 2 x + 6\right)^{9}}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(3 x^{2} - 2 x + 6\right)^{9}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(3 x^{2} - 2 x + 6\right)^{9}}{9}+ \mathrm{constant}$