Integral de sin^35xdx dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\sin^{3}{\left(5 x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right) \sin{\left(5 x \right)}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \cos{\left(5 x \right)}$.

      Luego que $du = - 5 \sin{\left(5 x \right)} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{u^{2}}{5} - \frac{1}{5}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{2}}{5}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{5}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{15}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(- \frac{1}{5}\right)\, du = - \frac{u}{5}$

         El resultado es: $\frac{u^{3}}{15} - \frac{u}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\cos^{3}{\left(5 x \right)}}{15} - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right) \sin{\left(5 x \right)} = - \sin{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \sin{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(5 x \right)}$.

            Luego que $du = - 5 \sin{\left(5 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{5}$:

            $\int \left(- \frac{u^{2}}{5}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{2}\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{5}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{15}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{3}{\left(5 x \right)}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{3}{\left(5 x \right)}}{15}$

      1. que $u = 5 x$.

         Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$

      El resultado es: $\frac{\cos^{3}{\left(5 x \right)}}{15} - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right) \sin{\left(5 x \right)} = - \sin{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \sin{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(5 x \right)}$.

            Luego que $du = - 5 \sin{\left(5 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{5}$:

            $\int \left(- \frac{u^{2}}{5}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{2}\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{5}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{15}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{3}{\left(5 x \right)}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{3}{\left(5 x \right)}}{15}$

      1. que $u = 5 x$.

         Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$

      El resultado es: $\frac{\cos^{3}{\left(5 x \right)}}{15} - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$

3. Ahora simplificar:

   $- \frac{3 \cos{\left(5 x \right)}}{20} + \frac{\cos{\left(15 x \right)}}{60}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{3 \cos{\left(5 x \right)}}{20} + \frac{\cos{\left(15 x \right)}}{60}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{3 \cos{\left(5 x \right)}}{20} + \frac{\cos{\left(15 x \right)}}{60}+ \mathrm{constant}$