Integral de 2sin(3-x)2cos(3-x) dx

1. que $u = 3 - x$.

   Luego que $du = - dx$ y ponemos $- 4 du$:

   $\int \left(- 4 \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\right)\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = - 4 \int \sin{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{2}$

         Método #2

         1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

            $\int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{2}{\left(u \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 \cos^{2}{\left(u \right)}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $2 \cos^{2}{\left(x - 3 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 \cos^{2}{\left(x - 3 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \cos^{2}{\left(x - 3 \right)}+ \mathrm{constant}$