Integral de (1-x)/(3x^2)dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{u + 1}{3 u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u + 1}{u^{2}}\, du = - \frac{\int \frac{u + 1}{u^{2}}\, du}{3}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u + 1}{u^{2}} = \frac{1}{u} + \frac{1}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            El resultado es: $\log{\left(u \right)} - \frac{1}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{3} + \frac{1}{3 u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(- x \right)}}{3} - \frac{1}{3 x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1 - x}{3 x^{2}} = - \frac{1}{3 x} + \frac{1}{3 x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{3 x}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{3}$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x \right)}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{3 x^{2}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x^{2}}\, dx}{3}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{3 x}$

      El resultado es: $- \frac{\log{\left(x \right)}}{3} - \frac{1}{3 x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1 - x}{3 x^{2}} = - \frac{x - 1}{3 x^{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x - 1}{3 x^{2}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{x - 1}{x^{2}}\, dx}{3}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x - 1}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{x}$

         El resultado es: $\log{\left(x \right)} + \frac{1}{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x \right)}}{3} - \frac{1}{3 x}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{x \log{\left(- x \right)} + 1}{3 x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x \log{\left(- x \right)} + 1}{3 x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x \log{\left(- x \right)} + 1}{3 x}+ \mathrm{constant}$