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Resolución de integrales/ sin(pix)/ x^2sin(pix)

Integral de x^2sin(pix) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |   2             
 |  x *sin(pi*x) dx
 |                 
/                  
0
∫01x2sin⁡(πx) dx\int\limits_{0}^{1} x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}\, dx 
Integral(x^2*sin(pi*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

    Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. que u=πxu = \pi x.

      Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

      ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=−2xπu{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{\pi} y que dv⁡(x)=cos⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}.

    Entonces du⁡(x)=−2π\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{\pi}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. que u=πxu = \pi x.

      Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

      ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

    Ahora resolvemos podintegral.

  3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−2sin⁡(πx)π2) dx=−2∫sin⁡(πx) dxπ2\int \left(- \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}\right)\, dx = - \frac{2 \int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi^{2}}

    1. que u=πxu = \pi x.

      Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

      ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

    Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(πx)π3\frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}

  4. Ahora simplificar:

    −π2x2cos⁡(πx)+2πxsin⁡(πx)+2cos⁡(πx)π3\frac{- \pi^{2} x^{2} \cos{\left(\pi x \right)} + 2 \pi x \sin{\left(\pi x \right)} + 2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}

  5. Añadimos la constante de integración:

    −π2x2cos⁡(πx)+2πxsin⁡(πx)+2cos⁡(πx)π3+constant\frac{- \pi^{2} x^{2} \cos{\left(\pi x \right)} + 2 \pi x \sin{\left(\pi x \right)} + 2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−π2x2cos⁡(πx)+2πxsin⁡(πx)+2cos⁡(πx)π3+constant\frac{- \pi^{2} x^{2} \cos{\left(\pi x \right)} + 2 \pi x \sin{\left(\pi x \right)} + 2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                
 |                                      2                          
 |  2                    2*cos(pi*x)   x *cos(pi*x)   2*x*sin(pi*x)
 | x *sin(pi*x) dx = C + ----------- - ------------ + -------------
 |                             3            pi               2     
/                            pi                            pi
∫x2sin⁡(πx) dx=C−x2cos⁡(πx)π+2xsin⁡(πx)π2+2cos⁡(πx)π3\int x^{2} \sin{\left(\pi x \right)}\, dx = C - \frac{x^{2} \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{2 x \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} + \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.00.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1     4 
-- - ---
pi     3
     pi
−4π3+1π- \frac{4}{\pi^{3}} + \frac{1}{\pi} 
=
= 
1     4 
-- - ---
pi     3
     pi
−4π3+1π- \frac{4}{\pi^{3}} + \frac{1}{\pi} 
1/pi - 4/pi^3
Respuesta numérica [src] 
0.189303748450993
0.189303748450993

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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