Integral de (5x-3/2)^9 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 5 x - \frac{3}{2}$.

      Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{u^{9}}{5}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{9}\, du = \frac{\int u^{9}\, du}{5}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{10}}{50}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(5 x - \frac{3}{2}\right)^{10}}{50}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(5 x - \frac{3}{2}\right)^{9} = 1953125 x^{9} - \frac{10546875 x^{8}}{2} + 6328125 x^{7} - \frac{8859375 x^{6}}{2} + \frac{15946875 x^{5}}{8} - \frac{9568125 x^{4}}{16} + \frac{1913625 x^{3}}{16} - \frac{492075 x^{2}}{32} + \frac{295245 x}{256} - \frac{19683}{512}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1953125 x^{9}\, dx = 1953125 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{390625 x^{10}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{10546875 x^{8}}{2}\right)\, dx = - \frac{10546875 \int x^{8}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1171875 x^{9}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6328125 x^{7}\, dx = 6328125 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6328125 x^{8}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{8859375 x^{6}}{2}\right)\, dx = - \frac{8859375 \int x^{6}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1265625 x^{7}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{15946875 x^{5}}{8}\, dx = \frac{15946875 \int x^{5}\, dx}{8}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5315625 x^{6}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{9568125 x^{4}}{16}\right)\, dx = - \frac{9568125 \int x^{4}\, dx}{16}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1913625 x^{5}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1913625 x^{3}}{16}\, dx = \frac{1913625 \int x^{3}\, dx}{16}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1913625 x^{4}}{64}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{492075 x^{2}}{32}\right)\, dx = - \frac{492075 \int x^{2}\, dx}{32}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{164025 x^{3}}{32}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{295245 x}{256}\, dx = \frac{295245 \int x\, dx}{256}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{295245 x^{2}}{512}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(- \frac{19683}{512}\right)\, dx = - \frac{19683 x}{512}$

      El resultado es: $\frac{390625 x^{10}}{2} - \frac{1171875 x^{9}}{2} + \frac{6328125 x^{8}}{8} - \frac{1265625 x^{7}}{2} + \frac{5315625 x^{6}}{16} - \frac{1913625 x^{5}}{16} + \frac{1913625 x^{4}}{64} - \frac{164025 x^{3}}{32} + \frac{295245 x^{2}}{512} - \frac{19683 x}{512}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(10 x - 3\right)^{10}}{51200}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(10 x - 3\right)^{10}}{51200}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(10 x - 3\right)^{10}}{51200}+ \mathrm{constant}$