Integral de -(y*(4-y))+((y-4)*y) dy

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- y \left(4 - y\right)\right)\, dy = - \int y \left(4 - y\right)\, dy$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = - y$.

            Luego que $du = - dy$ y ponemos $du$:

            $\int \left(u^{2} + 4 u\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 4 u\, du = 4 \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{2}$

               El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} + 2 u^{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{y^{3}}{3} + 2 y^{2}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $y \left(4 - y\right) = - y^{2} + 4 y$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- y^{2}\right)\, dy = - \int y^{2}\, dy$

               1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{y^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4 y\, dy = 4 \int y\, dy$

               1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 y^{2}$

            El resultado es: $- \frac{y^{3}}{3} + 2 y^{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{y^{3}}{3} - 2 y^{2}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $y \left(y - 4\right) = y^{2} - 4 y$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 y\right)\, dy = - 4 \int y\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 y^{2}$

      El resultado es: $\frac{y^{3}}{3} - 2 y^{2}$

   El resultado es: $\frac{2 y^{3}}{3} - 4 y^{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 y^{2} \left(y - 6\right)}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 y^{2} \left(y - 6\right)}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 y^{2} \left(y - 6\right)}{3}+ \mathrm{constant}$