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Resolución de integrales/ tg(x/2)/ 2ctg(x/2)

Integral de 2ctg(x/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1/5           
   /            
  |             
  |       /x\   
  |  2*cot|-| dx
  |       \2/   
  |             
 /              
3/20
∫320152cot⁡(x2) dx\int\limits_{\frac{3}{20}}^{\frac{1}{5}} 2 \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx 
Integral(2*cot(x/2), (x, 3/20, 1/5))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫2cot⁡(x2) dx=2∫cot⁡(x2) dx\int 2 \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 2 \int \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      cot⁡(x2)=cos⁡(x2)sin⁡(x2)\cot{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}

    2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=sin⁡(x2)u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x2)dx2du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2u du\int \frac{2}{u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=2∫1u du\int \frac{1}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(u)2 \log{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2log⁡(sin⁡(x2))2 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}

      Método #2

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2cos⁡(u)sin⁡(u) du\int \frac{2 \cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u)sin⁡(u) du=2∫cos⁡(u)sin⁡(u) du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du = 2 \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\, du

          1. que u=sin⁡(u)u = \sin{\left(u \right)}.

            Luego que du=cos⁡(u)dudu = \cos{\left(u \right)} du y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(sin⁡(u))\log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(sin⁡(u))2 \log{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2log⁡(sin⁡(x2))2 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: 4log⁡(sin⁡(x2))4 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}

  2. Ahora simplificar:

    4log⁡(sin⁡(x2))4 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    4log⁡(sin⁡(x2))+constant4 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

4log⁡(sin⁡(x2))+constant4 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                               
 |                                
 |      /x\               /   /x\\
 | 2*cot|-| dx = C + 4*log|sin|-||
 |      \2/               \   \2//
 |                                
/
∫2cot⁡(x2) dx=C+4log⁡(sin⁡(x2))\int 2 \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = C + 4 \log{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.1500.2000.1550.1600.1650.1700.1750.1800.1850.1900.195-5050
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-4*log(sin(3/40)) + 4*log(sin(1/10))
4log⁡(sin⁡(110))−4log⁡(sin⁡(340))4 \log{\left(\sin{\left(\frac{1}{10} \right)} \right)} - 4 \log{\left(\sin{\left(\frac{3}{40} \right)} \right)} 
=
= 
-4*log(sin(3/40)) + 4*log(sin(1/10))
4log⁡(sin⁡(110))−4log⁡(sin⁡(340))4 \log{\left(\sin{\left(\frac{1}{10} \right)} \right)} - 4 \log{\left(\sin{\left(\frac{3}{40} \right)} \right)} 
-4*log(sin(3/40)) + 4*log(sin(1/10))
Respuesta numérica [src] 
1.14781010288246
1.14781010288246

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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