Integral de (5x+2)arctg4/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 5 x$.

      Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u \operatorname{atan}{\left(4 \right)} + 2 \operatorname{atan}{\left(4 \right)}}{u}\, du$

      1. que $u = u \operatorname{atan}{\left(4 \right)}$.

         Luego que $du = \operatorname{atan}{\left(4 \right)} du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u + 2 \operatorname{atan}{\left(4 \right)}}{u}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u + 2 \operatorname{atan}{\left(4 \right)}}{u} = 1 + \frac{2 \operatorname{atan}{\left(4 \right)}}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2 \operatorname{atan}{\left(4 \right)}}{u}\, du = 2 \operatorname{atan}{\left(4 \right)} \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)} \operatorname{atan}{\left(4 \right)}$

            El resultado es: $u + 2 \log{\left(u \right)} \operatorname{atan}{\left(4 \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $u \operatorname{atan}{\left(4 \right)} + 2 \log{\left(u \operatorname{atan}{\left(4 \right)} \right)} \operatorname{atan}{\left(4 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $5 x \operatorname{atan}{\left(4 \right)} + 2 \log{\left(5 x \operatorname{atan}{\left(4 \right)} \right)} \operatorname{atan}{\left(4 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(5 x + 2\right) \operatorname{atan}{\left(4 \right)}}{x} = 5 \operatorname{atan}{\left(4 \right)} + \frac{2 \operatorname{atan}{\left(4 \right)}}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 5 \operatorname{atan}{\left(4 \right)}\, dx = 5 x \operatorname{atan}{\left(4 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 \operatorname{atan}{\left(4 \right)}}{x}\, dx = 2 \operatorname{atan}{\left(4 \right)} \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(4 \right)}$

      El resultado es: $5 x \operatorname{atan}{\left(4 \right)} + 2 \log{\left(x \right)} \operatorname{atan}{\left(4 \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(5 x + 2\right) \operatorname{atan}{\left(4 \right)}}{x} = \frac{5 x \operatorname{atan}{\left(4 \right)} + 2 \operatorname{atan}{\left(4 \right)}}{x}$

   2. que $u = 5 x \operatorname{atan}{\left(4 \right)}$.

      Luego que $du = 5 \operatorname{atan}{\left(4 \right)} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u + 2 \operatorname{atan}{\left(4 \right)}}{u}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u + 2 \operatorname{atan}{\left(4 \right)}}{u} = 1 + \frac{2 \operatorname{atan}{\left(4 \right)}}{u}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2 \operatorname{atan}{\left(4 \right)}}{u}\, du = 2 \operatorname{atan}{\left(4 \right)} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)} \operatorname{atan}{\left(4 \right)}$

         El resultado es: $u + 2 \log{\left(u \right)} \operatorname{atan}{\left(4 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $5 x \operatorname{atan}{\left(4 \right)} + 2 \log{\left(5 x \operatorname{atan}{\left(4 \right)} \right)} \operatorname{atan}{\left(4 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(5 x + 2 \log{\left(5 x \operatorname{atan}{\left(4 \right)} \right)}\right) \operatorname{atan}{\left(4 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(5 x + 2 \log{\left(5 x \operatorname{atan}{\left(4 \right)} \right)}\right) \operatorname{atan}{\left(4 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(5 x + 2 \log{\left(5 x \operatorname{atan}{\left(4 \right)} \right)}\right) \operatorname{atan}{\left(4 \right)}+ \mathrm{constant}$