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Resolución de integrales/ (lnx)^2/ (lnx)^2/2xdx

Integral de (lnx)^2/2xdx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |     2        
 |  log (x)     
 |  -------*x dx
 |     2        
 |              
/               
0
∫01xlog⁡(x)22 dx\int\limits_{0}^{1} x \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}\, dx 
Integral((log(x)^2/2)*x, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

    Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos du2\frac{du}{2}:

    ∫u2e2u2 du\int \frac{u^{2} e^{2 u}}{2}\, du

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫u2e2u du=∫u2e2u du2\int u^{2} e^{2 u}\, du = \frac{\int u^{2} e^{2 u}\, du}{2}

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

        Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=2uu = 2 u.

          Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

        Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=2uu = 2 u.

          Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

        1. que u=2uu = 2 u.

          Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: u2e2u4−ue2u4+e2u8\frac{u^{2} e^{2 u}}{4} - \frac{u e^{2 u}}{4} + \frac{e^{2 u}}{8}

    Si ahora sustituir uu más en:

    x2log⁡(x)24−x2log⁡(x)4+x28\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{4} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{4} + \frac{x^{2}}{8}

  2. Ahora simplificar:

    x2(2log⁡(x)2−2log⁡(x)+1)8\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{8}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2(2log⁡(x)2−2log⁡(x)+1)8+constant\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2(2log⁡(x)2−2log⁡(x)+1)8+constant\frac{x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                              
 |                                               
 |    2                2    2           2    2   
 | log (x)            x    x *log(x)   x *log (x)
 | -------*x dx = C + -- - --------- + ----------
 |    2               8        4           4     
 |                                               
/
∫xlog⁡(x)22 dx=C+x2log⁡(x)24−x2log⁡(x)4+x28\int x \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{4} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{4} + \frac{x^{2}}{8}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.000.50
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1/8
18\frac{1}{8} 
=
= 
1/8
18\frac{1}{8} 
1/8
Respuesta numérica [src] 
0.125
0.125

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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