Integral de (x^2+2x+1)sinx3 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 3 \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 1\right) \sin{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 1\right) \sin{\left(x \right)}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 1\right) \sin{\left(x \right)} = x^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = - 2 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -2$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 \cos{\left(x \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 x \sin{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x \sin{\left(x \right)}\, dx$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. La integral del seno es un coseno menos:

                  $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         El resultado es: $- x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} - 2 x \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x^{2} + 2 x + 1$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x + 2$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = - 2 x - 2$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -2$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \cos{\left(x \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- 3 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 6 x \sin{\left(x \right)} - 6 x \cos{\left(x \right)} + 6 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- 3 x^{2} \cos{\left(x \right)} - 6 \sqrt{2} x \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 6 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 3 x^{2} \cos{\left(x \right)} - 6 \sqrt{2} x \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 6 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 3 x^{2} \cos{\left(x \right)} - 6 \sqrt{2} x \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 6 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$