Integral de tgh^2 dx

1. que $u = \tanh{\left(x \right)}$.

   Luego que $du = \left(1 - \tanh^{2}{\left(x \right)}\right) dx$ y ponemos $- du$:

   $\int \left(- \frac{u^{2}}{u^{2} - 1}\right)\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{u^{2}}{u^{2} - 1}\, du = - \int \frac{u^{2}}{u^{2} - 1}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u^{2}}{u^{2} - 1} = 1 - \frac{1}{2 \left(u + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{2 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{2}$

            1. que $u = u + 1$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{2}$

            1. que $u = u - 1$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u - 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}$

         El resultado es: $u + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- u - \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{2}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \frac{\log{\left(\tanh{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\tanh{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} - \tanh{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(\tanh{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\tanh{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} - \tanh{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(\tanh{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\tanh{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} - \tanh{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$