Integral de (3x+4)/(√7-x^2) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{3 x + 4}{- x^{2} + \sqrt{7}} = \frac{3 x}{- x^{2} + \sqrt{7}} + \frac{4}{- x^{2} + \sqrt{7}}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3 x}{- x^{2} + \sqrt{7}}\, dx = - \frac{3 \int \left(- \frac{2 x}{- x^{2} + \sqrt{7}}\right)\, dx}{2}$

      1. que $u = - x^{2} + \sqrt{7}$.

         Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{3 du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{3}{2 u}\right)\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(- x^{2} + \sqrt{7} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \log{\left(- x^{2} + \sqrt{7} \right)}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{4}{- x^{2} + \sqrt{7}}\, dx = 4 \int \frac{1}{- x^{2} + \sqrt{7}}\, dx$

      PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=-1, c=sqrt(7), context=1/(-x**2 + sqrt(7)), symbol=x), False), (ArccothRule(a=1, b=-1, c=sqrt(7), context=1/(-x**2 + sqrt(7)), symbol=x), x**2 > sqrt(7)), (ArctanhRule(a=1, b=-1, c=sqrt(7), context=1/(-x**2 + sqrt(7)), symbol=x), x**2 < sqrt(7))], context=1/(-x**2 + sqrt(7)), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $4 \left(\begin{cases} \frac{7^{\frac{3}{4}} \operatorname{acoth}{\left(\frac{7^{\frac{3}{4}} x}{7} \right)}}{7} & \text{for}\: x^{2} > \sqrt{7} \\\frac{7^{\frac{3}{4}} \operatorname{atanh}{\left(\frac{7^{\frac{3}{4}} x}{7} \right)}}{7} & \text{for}\: x^{2} < \sqrt{7} \end{cases}\right)$

   El resultado es: $4 \left(\begin{cases} \frac{7^{\frac{3}{4}} \operatorname{acoth}{\left(\frac{7^{\frac{3}{4}} x}{7} \right)}}{7} & \text{for}\: x^{2} > \sqrt{7} \\\frac{7^{\frac{3}{4}} \operatorname{atanh}{\left(\frac{7^{\frac{3}{4}} x}{7} \right)}}{7} & \text{for}\: x^{2} < \sqrt{7} \end{cases}\right) - \frac{3 \log{\left(- x^{2} + \sqrt{7} \right)}}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{- 21 \log{\left(- x^{2} + \sqrt{7} \right)} + 8 \cdot 7^{\frac{3}{4}} \operatorname{acoth}{\left(\frac{7^{\frac{3}{4}} x}{7} \right)}}{14} & \text{for}\: x^{2} > \sqrt{7} \\\frac{- 21 \log{\left(- x^{2} + \sqrt{7} \right)} + 8 \cdot 7^{\frac{3}{4}} \operatorname{atanh}{\left(\frac{7^{\frac{3}{4}} x}{7} \right)}}{14} & \text{for}\: x^{2} < \sqrt{7} \end{cases}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{- 21 \log{\left(- x^{2} + \sqrt{7} \right)} + 8 \cdot 7^{\frac{3}{4}} \operatorname{acoth}{\left(\frac{7^{\frac{3}{4}} x}{7} \right)}}{14} & \text{for}\: x^{2} > \sqrt{7} \\\frac{- 21 \log{\left(- x^{2} + \sqrt{7} \right)} + 8 \cdot 7^{\frac{3}{4}} \operatorname{atanh}{\left(\frac{7^{\frac{3}{4}} x}{7} \right)}}{14} & \text{for}\: x^{2} < \sqrt{7} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{- 21 \log{\left(- x^{2} + \sqrt{7} \right)} + 8 \cdot 7^{\frac{3}{4}} \operatorname{acoth}{\left(\frac{7^{\frac{3}{4}} x}{7} \right)}}{14} & \text{for}\: x^{2} > \sqrt{7} \\\frac{- 21 \log{\left(- x^{2} + \sqrt{7} \right)} + 8 \cdot 7^{\frac{3}{4}} \operatorname{atanh}{\left(\frac{7^{\frac{3}{4}} x}{7} \right)}}{14} & \text{for}\: x^{2} < \sqrt{7} \end{cases}+ \mathrm{constant}$