Integral de ln(y^2+1) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(y \right)} = \log{\left(y^{2} + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(y \right)} = 1$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(y \right)} = \frac{2 y}{y^{2} + 1}$.

   Para buscar $v{\left(y \right)}$:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dy = y$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{2 y^{2}}{y^{2} + 1}\, dy = 2 \int \frac{y^{2}}{y^{2} + 1}\, dy$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{y^{2} + 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dy = y$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{y^{2} + 1}\right)\, dy = - \int \frac{1}{y^{2} + 1}\, dy$

         PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(y**2 + 1), symbol=y), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(y**2 + 1), symbol=y), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(y**2 + 1), symbol=y), False)], context=1/(y**2 + 1), symbol=y)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \operatorname{atan}{\left(y \right)}$

      El resultado es: $y - \operatorname{atan}{\left(y \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $2 y - 2 \operatorname{atan}{\left(y \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $y \log{\left(y^{2} + 1 \right)} - 2 y + 2 \operatorname{atan}{\left(y \right)}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $y \log{\left(y^{2} + 1 \right)} - 2 y + 2 \operatorname{atan}{\left(y \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$y \log{\left(y^{2} + 1 \right)} - 2 y + 2 \operatorname{atan}{\left(y \right)}+ \mathrm{constant}$