Sr Examen
Integral de (x+3)/(x^2+2x+2) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | x + 3 | ------------ dx | 2 | x + 2*x + 2 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x + 3}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 2}\, dx$$
Integral((x + 3)/(x^2 + 2*x + 2), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | x + 3 | ------------ dx | 2 | x + 2*x + 2 | /
Reescribimos la función subintegral
/ 2*x + 2 \
|------------| /2\
| 2 | |-|
x + 3 \x + 2*x + 2/ \1/
------------ = -------------- + -------------
2 2 2
x + 2*x + 2 (-x - 1) + 1o
/ | | x + 3 | ------------ dx | 2 = | x + 2*x + 2 | /
/
|
| 2*x + 2
| ------------ dx
| 2
| x + 2*x + 2 /
| |
/ | 1
------------------ + 2* | ------------- dx
2 | 2
| (-x - 1) + 1
|
/ En integral
/
|
| 2*x + 2
| ------------ dx
| 2
| x + 2*x + 2
|
/
------------------
2 hacemos el cambio
2 u = x + 2*x
entonces
integral =
/
|
| 1
| ----- du
| 2 + u
|
/ log(2 + u)
----------- = ----------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 2*x + 2
| ------------ dx
| 2
| x + 2*x + 2
| / 2 \
/ log\2 + x + 2*x/
------------------ = -----------------
2 2 En integral
/ | | 1 2* | ------------- dx | 2 | (-x - 1) + 1 | /
hacemos el cambio
v = -1 - x
entonces
integral =
/ | | 1 2* | ------ dv = 2*atan(v) | 2 | 1 + v | /
hacemos cambio inverso
/ | | 1 2* | ------------- dx = 2*atan(1 + x) | 2 | (-x - 1) + 1 | /
La solución:
/ 2 \
log\2 + x + 2*x/
C + ----------------- + 2*atan(1 + x)
2
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | / 2 \ | x + 3 log\2 + x + 2*x/ | ------------ dx = C + ----------------- + 2*atan(1 + x) | 2 2 | x + 2*x + 2 | /
$$\int \frac{x + 3}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 2}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} + 2 x + 2 \right)}}{2} + 2 \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
log(5) pi log(2) ------ + 2*atan(2) - -- - ------ 2 2 2
$$- \frac{\pi}{2} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} + 2 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$
=
=
log(5) pi log(2) ------ + 2*atan(2) - -- - ------ 2 2 2
$$- \frac{\pi}{2} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} + 2 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$
log(5)/2 + 2*atan(2) - pi/2 - log(2)/2
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.