Integral de 2(xlnx-x)+2 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right)\, dx = 2 \int \left(x \log{\left(x \right)} - x\right)\, dx$

      1. Integramos término a término:

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

               $\int u e^{2 u}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. que $u = 2 u$.

                     Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\text{False}$

                        1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                           $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{e^{2 u}}{2}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$

                  1. que $u = 2 u$.

                     Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\text{False}$

                        1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                           $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{e^{2 u}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$

            Método #2

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2}$

         El resultado es: $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{3 x^{2}}{2}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 2\, dx = 2 x$

   El resultado es: $x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - 3 x + 4\right)}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - 3 x + 4\right)}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - 3 x + 4\right)}{2}+ \mathrm{constant}$