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Resolución de integrales/ sin(pix)/ (2x-1)/ (2x-1)sin(pix)/(8)

Integral de (2x-1)sin(pix)/(8) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  0                       
  /                       
 |                        
 |  (2*x - 1)*sin(pi*x)   
 |  ------------------- dx
 |           8            
 |                        
/                         
-2
∫−20(2x−1)sin⁡(πx)8 dx\int\limits_{-2}^{0} \frac{\left(2 x - 1\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{8}\, dx 
Integral(((2*x - 1)*sin(pi*x))/8, (x, -2, 0))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(2x−1)sin⁡(πx)8 dx=∫(2x−1)sin⁡(πx) dx8\int \frac{\left(2 x - 1\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \left(2 x - 1\right) \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{8}

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (2x−1)sin⁡(πx)=2xsin⁡(πx)−sin⁡(πx)\left(2 x - 1\right) \sin{\left(\pi x \right)} = 2 x \sin{\left(\pi x \right)} - \sin{\left(\pi x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2xsin⁡(πx) dx=2∫xsin⁡(πx) dx\int 2 x \sin{\left(\pi x \right)}\, dx = 2 \int x \sin{\left(\pi x \right)}\, dx

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

            Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

            Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            1. que u=πxu = \pi x.

              Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

              ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(πx)π) dx=−∫cos⁡(πx) dxπ\int \left(- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi}

            1. que u=πxu = \pi x.

              Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

              ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(πx)π2- \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

          Por lo tanto, el resultado es: −2xcos⁡(πx)π+2sin⁡(πx)π2- \frac{2 x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡(πx)) dx=−∫sin⁡(πx) dx\int \left(- \sin{\left(\pi x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(πx)π\frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        El resultado es: −2xcos⁡(πx)π+2sin⁡(πx)π2+cos⁡(πx)π- \frac{2 x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} + \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=2x−1u{\left(x \right)} = 2 x - 1 y que dv⁡(x)=sin⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2cos⁡(πx)π) dx=−2∫cos⁡(πx) dxπ\int \left(- \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}\right)\, dx = - \frac{2 \int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi}

        1. que u=πxu = \pi x.

          Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

          ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(πx)π2- \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (2x−1)sin⁡(πx)=2xsin⁡(πx)−sin⁡(πx)\left(2 x - 1\right) \sin{\left(\pi x \right)} = 2 x \sin{\left(\pi x \right)} - \sin{\left(\pi x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2xsin⁡(πx) dx=2∫xsin⁡(πx) dx\int 2 x \sin{\left(\pi x \right)}\, dx = 2 \int x \sin{\left(\pi x \right)}\, dx

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

            Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

            Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            1. que u=πxu = \pi x.

              Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

              ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(πx)π) dx=−∫cos⁡(πx) dxπ\int \left(- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi}

            1. que u=πxu = \pi x.

              Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

              ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(πx)π2- \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

          Por lo tanto, el resultado es: −2xcos⁡(πx)π+2sin⁡(πx)π2- \frac{2 x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡(πx)) dx=−∫sin⁡(πx) dx\int \left(- \sin{\left(\pi x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx

          1. que u=πxu = \pi x.

            Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

            ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

          Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(πx)π\frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

        El resultado es: −2xcos⁡(πx)π+2sin⁡(πx)π2+cos⁡(πx)π- \frac{2 x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} + \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

    Por lo tanto, el resultado es: −xcos⁡(πx)4π+sin⁡(πx)4π2+cos⁡(πx)8π- \frac{x \cos{\left(\pi x \right)}}{4 \pi} + \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{4 \pi^{2}} + \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{8 \pi}

  2. Ahora simplificar:

    π(1−2x)cos⁡(πx)+2sin⁡(πx)8π2\frac{\pi \left(1 - 2 x\right) \cos{\left(\pi x \right)} + 2 \sin{\left(\pi x \right)}}{8 \pi^{2}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    π(1−2x)cos⁡(πx)+2sin⁡(πx)8π2+constant\frac{\pi \left(1 - 2 x\right) \cos{\left(\pi x \right)} + 2 \sin{\left(\pi x \right)}}{8 \pi^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

π(1−2x)cos⁡(πx)+2sin⁡(πx)8π2+constant\frac{\pi \left(1 - 2 x\right) \cos{\left(\pi x \right)} + 2 \sin{\left(\pi x \right)}}{8 \pi^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                
 |                                                                 
 | (2*x - 1)*sin(pi*x)          sin(pi*x)   cos(pi*x)   x*cos(pi*x)
 | ------------------- dx = C + --------- + --------- - -----------
 |          8                         2        8*pi         4*pi   
 |                                4*pi                             
/
∫(2x−1)sin⁡(πx)8 dx=C−xcos⁡(πx)4π+sin⁡(πx)4π2+cos⁡(πx)8π\int \frac{\left(2 x - 1\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{8}\, dx = C - \frac{x \cos{\left(\pi x \right)}}{4 \pi} + \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{4 \pi^{2}} + \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{8 \pi}
Simplificar
Gráfica
-2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.01.0-1.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-1  
----
2*pi
−12π- \frac{1}{2 \pi} 
=
= 
-1  
----
2*pi
−12π- \frac{1}{2 \pi} 
-1/(2*pi)
Respuesta numérica [src] 
-0.159154943091895
-0.159154943091895

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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