Integral de sqrt(5x+1)^2 dx

1. que $u = \sqrt{5 x + 1}$.

   Luego que $du = \frac{5 dx}{2 \sqrt{5 x + 1}}$ y ponemos $du$:

   $\int \left(2 u \left(\frac{u^{2}}{5} - \frac{1}{5}\right) + \frac{2 u}{5}\right)\, du$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 u \left(\frac{u^{2}}{5} - \frac{1}{5}\right)\, du = 2 \int u \left(\frac{u^{2}}{5} - \frac{1}{5}\right)\, du$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = u^{2}$.

               Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $du$:

               $\int \left(\frac{u}{10} - \frac{1}{10}\right)\, du$

               1. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{u}{10}\, du = \frac{\int u\, du}{10}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{20}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \left(- \frac{1}{10}\right)\, du = - \frac{u}{10}$

                  El resultado es: $\frac{u^{2}}{20} - \frac{u}{10}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{u^{4}}{20} - \frac{u^{2}}{10}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $u \left(\frac{u^{2}}{5} - \frac{1}{5}\right) = \frac{u^{3}}{5} - \frac{u}{5}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{u^{3}}{5}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{5}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{20}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{u}{5}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{5}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{10}$

               El resultado es: $\frac{u^{4}}{20} - \frac{u^{2}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{10} - \frac{u^{2}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 u}{5}\, du = \frac{2 \int u\, du}{5}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{5}$

      El resultado es: $\frac{u^{4}}{10}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{\left(5 x + 1\right)^{2}}{10}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(5 x + 1\right)^{2}}{10}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(5 x + 1\right)^{2}}{10}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(5 x + 1\right)^{2}}{10}+ \mathrm{constant}$