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Resolución de integrales/ ln4x^3

Integral de ln4x^3 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |     3        
 |  log (4*x) dx
 |              
/               
0
∫01log⁡(4x)3 dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(4 x \right)}^{3}\, dx 
Integral(log(4*x)^3, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      log⁡(4x)3=log⁡(x)3+6log⁡(2)log⁡(x)2+12log⁡(2)2log⁡(x)+8log⁡(2)3\log{\left(4 x \right)}^{3} = \log{\left(x \right)}^{3} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}^{2} + 12 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(x \right)} + 8 \log{\left(2 \right)}^{3}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ∫u3eu du\int u^{3} e^{u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=u3u{\left(u \right)} = u^{3} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du⁡(u)=3u2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=3u2u{\left(u \right)} = 3 u^{2} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du⁡(u)=6u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6 u.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=6uu{\left(u \right)} = 6 u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du⁡(u)=6\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫6eu du=6∫eu du\int 6 e^{u}\, du = 6 \int e^{u}\, du

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 6eu6 e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        xlog⁡(x)3−3xlog⁡(x)2+6xlog⁡(x)−6xx \log{\left(x \right)}^{3} - 3 x \log{\left(x \right)}^{2} + 6 x \log{\left(x \right)} - 6 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6log⁡(2)log⁡(x)2 dx=6log⁡(2)∫log⁡(x)2 dx\int 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}^{2}\, dx = 6 \log{\left(2 \right)} \int \log{\left(x \right)}^{2}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫u2eu du\int u^{2} e^{u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=2uu{\left(u \right)} = 2 u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2eu du=2∫eu du\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          xlog⁡(x)2−2xlog⁡(x)+2xx \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x

        Por lo tanto, el resultado es: 6(xlog⁡(x)2−2xlog⁡(x)+2x)log⁡(2)6 \left(x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x\right) \log{\left(2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12log⁡(2)2log⁡(x) dx=12log⁡(2)2∫log⁡(x) dx\int 12 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(x \right)}\, dx = 12 \log{\left(2 \right)}^{2} \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: 12(xlog⁡(x)−x)log⁡(2)212 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right) \log{\left(2 \right)}^{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫8log⁡(2)3 dx=8xlog⁡(2)3\int 8 \log{\left(2 \right)}^{3}\, dx = 8 x \log{\left(2 \right)}^{3}

      El resultado es: xlog⁡(x)3−3xlog⁡(x)2+6xlog⁡(x)−6x+8xlog⁡(2)3+12(xlog⁡(x)−x)log⁡(2)2+6(xlog⁡(x)2−2xlog⁡(x)+2x)log⁡(2)x \log{\left(x \right)}^{3} - 3 x \log{\left(x \right)}^{2} + 6 x \log{\left(x \right)} - 6 x + 8 x \log{\left(2 \right)}^{3} + 12 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right) \log{\left(2 \right)}^{2} + 6 \left(x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x\right) \log{\left(2 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      log⁡(4x)3=log⁡(x)3+6log⁡(2)log⁡(x)2+12log⁡(2)2log⁡(x)+8log⁡(2)3\log{\left(4 x \right)}^{3} = \log{\left(x \right)}^{3} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}^{2} + 12 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(x \right)} + 8 \log{\left(2 \right)}^{3}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ∫u3eu du\int u^{3} e^{u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=u3u{\left(u \right)} = u^{3} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du⁡(u)=3u2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=3u2u{\left(u \right)} = 3 u^{2} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du⁡(u)=6u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6 u.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=6uu{\left(u \right)} = 6 u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du⁡(u)=6\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫6eu du=6∫eu du\int 6 e^{u}\, du = 6 \int e^{u}\, du

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 6eu6 e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        xlog⁡(x)3−3xlog⁡(x)2+6xlog⁡(x)−6xx \log{\left(x \right)}^{3} - 3 x \log{\left(x \right)}^{2} + 6 x \log{\left(x \right)} - 6 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6log⁡(2)log⁡(x)2 dx=6log⁡(2)∫log⁡(x)2 dx\int 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}^{2}\, dx = 6 \log{\left(2 \right)} \int \log{\left(x \right)}^{2}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫u2eu du\int u^{2} e^{u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=2uu{\left(u \right)} = 2 u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2eu du=2∫eu du\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          xlog⁡(x)2−2xlog⁡(x)+2xx \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x

        Por lo tanto, el resultado es: 6(xlog⁡(x)2−2xlog⁡(x)+2x)log⁡(2)6 \left(x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x\right) \log{\left(2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12log⁡(2)2log⁡(x) dx=12log⁡(2)2∫log⁡(x) dx\int 12 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(x \right)}\, dx = 12 \log{\left(2 \right)}^{2} \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: 12(xlog⁡(x)−x)log⁡(2)212 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right) \log{\left(2 \right)}^{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫8log⁡(2)3 dx=8xlog⁡(2)3\int 8 \log{\left(2 \right)}^{3}\, dx = 8 x \log{\left(2 \right)}^{3}

      El resultado es: xlog⁡(x)3−3xlog⁡(x)2+6xlog⁡(x)−6x+8xlog⁡(2)3+12(xlog⁡(x)−x)log⁡(2)2+6(xlog⁡(x)2−2xlog⁡(x)+2x)log⁡(2)x \log{\left(x \right)}^{3} - 3 x \log{\left(x \right)}^{2} + 6 x \log{\left(x \right)} - 6 x + 8 x \log{\left(2 \right)}^{3} + 12 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right) \log{\left(2 \right)}^{2} + 6 \left(x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x\right) \log{\left(2 \right)}

  2. Ahora simplificar:

    x(12(log⁡(x)−1)log⁡(2)2+(log⁡(x)2−2log⁡(x)+2)log⁡(64)+log⁡(x)3−3log⁡(x)2+6log⁡(x)−6+8log⁡(2)3)x \left(12 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(2 \right)}^{2} + \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + 2\right) \log{\left(64 \right)} + \log{\left(x \right)}^{3} - 3 \log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} - 6 + 8 \log{\left(2 \right)}^{3}\right)

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(12(log⁡(x)−1)log⁡(2)2+(log⁡(x)2−2log⁡(x)+2)log⁡(64)+log⁡(x)3−3log⁡(x)2+6log⁡(x)−6+8log⁡(2)3)+constantx \left(12 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(2 \right)}^{2} + \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + 2\right) \log{\left(64 \right)} + \log{\left(x \right)}^{3} - 3 \log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} - 6 + 8 \log{\left(2 \right)}^{3}\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x(12(log⁡(x)−1)log⁡(2)2+(log⁡(x)2−2log⁡(x)+2)log⁡(64)+log⁡(x)3−3log⁡(x)2+6log⁡(x)−6+8log⁡(2)3)+constantx \left(12 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(2 \right)}^{2} + \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + 2\right) \log{\left(64 \right)} + \log{\left(x \right)}^{3} - 3 \log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} - 6 + 8 \log{\left(2 \right)}^{3}\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                                                  
 |                                                                                                                                                   
 |    3                          3             2                     /           2                \                 3            2                   
 | log (4*x) dx = C - 6*x + x*log (x) - 3*x*log (x) + 6*x*log(x) + 6*\2*x + x*log (x) - 2*x*log(x)/*log(2) + 8*x*log (2) + 12*log (2)*(-x + x*log(x))
 |                                                                                                                                                   
/
∫log⁡(4x)3 dx=C+xlog⁡(x)3−3xlog⁡(x)2+6xlog⁡(x)−6x+8xlog⁡(2)3+12(xlog⁡(x)−x)log⁡(2)2+6(xlog⁡(x)2−2xlog⁡(x)+2x)log⁡(2)\int \log{\left(4 x \right)}^{3}\, dx = C + x \log{\left(x \right)}^{3} - 3 x \log{\left(x \right)}^{2} + 6 x \log{\left(x \right)} - 6 x + 8 x \log{\left(2 \right)}^{3} + 12 \left(x \log{\left(x \right)} - x\right) \log{\left(2 \right)}^{2} + 6 \left(x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x\right) \log{\left(2 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-500500
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
        3           2              
-6 + log (4) - 3*log (4) + 6*log(4)
−6−3log⁡(4)2+log⁡(4)3+6log⁡(4)-6 - 3 \log{\left(4 \right)}^{2} + \log{\left(4 \right)}^{3} + 6 \log{\left(4 \right)} 
=
= 
        3           2              
-6 + log (4) - 3*log (4) + 6*log(4)
−6−3log⁡(4)2+log⁡(4)3+6log⁡(4)-6 - 3 \log{\left(4 \right)}^{2} + \log{\left(4 \right)}^{3} + 6 \log{\left(4 \right)} 
-6 + log(4)^3 - 3*log(4)^2 + 6*log(4)
Respuesta numérica [src] 
-0.783472784387631
-0.783472784387631

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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