Integral de (y-2)^3-(y-2) dy

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 2\, dy = 2 y$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- y\right)\, dy = - \int y\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{y^{2}}{2}$

      El resultado es: $- \frac{y^{2}}{2} + 2 y$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = y - 2$.

         Luego que $du = dy$ y ponemos $du$:

         $\int u^{3}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(y - 2\right)^{4}}{4}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(y - 2\right)^{3} = y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y^{3}\, dy = \frac{y^{4}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 6 y^{2}\right)\, dy = - 6 \int y^{2}\, dy$

            1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 y^{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 12 y\, dy = 12 \int y\, dy$

            1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $6 y^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-8\right)\, dy = - 8 y$

         El resultado es: $\frac{y^{4}}{4} - 2 y^{3} + 6 y^{2} - 8 y$

   El resultado es: $- \frac{y^{2}}{2} + 2 y + \frac{\left(y - 2\right)^{4}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{y^{2}}{2} + 2 y + \frac{\left(y - 2\right)^{4}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{y^{2}}{2} + 2 y + \frac{\left(y - 2\right)^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{y^{2}}{2} + 2 y + \frac{\left(y - 2\right)^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$