Integral de 4x-3tg(2x) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 3 \tan{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \tan{\left(2 x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\tan{\left(2 x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \cos{\left(2 x \right)}$.

            Luego que $du = - 2 \sin{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}}{2}$

         Método #2

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1}$

            2. que $u = 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1$.

               Luego que $du = - 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

               $\int \left(- \frac{1}{4 u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\log{\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}}{2}$

   El resultado es: $2 x^{2} + \frac{3 \log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 x^{2} + \frac{3 \log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x^{2} + \frac{3 \log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$