Integral de sin5x/(5(cos5x)^3) dx

1. que $u = 5 x$.

   Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{25}$:

   $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{25 \cos^{3}{\left(u \right)}}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos^{3}{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos^{3}{\left(u \right)}}\, du}{25}$

      1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{1}{u^{3}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{2 u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{1}{2 \cos^{2}{\left(u \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{50 \cos^{2}{\left(u \right)}}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{1}{50 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{1}{50 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{1}{50 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}+ \mathrm{constant}$