Integral de x×(2+x)^5dx dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $x \left(x + 2\right)^{5} = x^{6} + 10 x^{5} + 40 x^{4} + 80 x^{3} + 80 x^{2} + 32 x$

2. Integramos término a término:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 10 x^{5}\, dx = 10 \int x^{5}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{6}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 40 x^{4}\, dx = 40 \int x^{4}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $8 x^{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 80 x^{3}\, dx = 80 \int x^{3}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $20 x^{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 80 x^{2}\, dx = 80 \int x^{2}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{80 x^{3}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 32 x\, dx = 32 \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $16 x^{2}$

   El resultado es: $\frac{x^{7}}{7} + \frac{5 x^{6}}{3} + 8 x^{5} + 20 x^{4} + \frac{80 x^{3}}{3} + 16 x^{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(3 x^{5} + 35 x^{4} + 168 x^{3} + 420 x^{2} + 560 x + 336\right)}{21}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(3 x^{5} + 35 x^{4} + 168 x^{3} + 420 x^{2} + 560 x + 336\right)}{21}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(3 x^{5} + 35 x^{4} + 168 x^{3} + 420 x^{2} + 560 x + 336\right)}{21}+ \mathrm{constant}$