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Resolución de integrales/ cosz/z(z^2+8)

Integral de cosz/z(z^2+8) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
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  /                   
 |                    
 |  cos(z) / 2    \   
 |  ------*\z  + 8/ dz
 |    z               
 |                    
/                     
c
∫c0cos⁡(z)z(z2+8) dz\int\limits_{c}^{0} \frac{\cos{\left(z \right)}}{z} \left(z^{2} + 8\right)\, dz 
Integral((cos(z)/z)*(z^2 + 8), (z, c, 0))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1zu = \frac{1}{z}.

      Luego que du=−dzz2du = - \frac{dz}{z^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−8u2cos⁡(1u)+cos⁡(1u)u3) du\int \left(- \frac{8 u^{2} \cos{\left(\frac{1}{u} \right)} + \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{3}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8u2cos⁡(1u)+cos⁡(1u)u3 du=−∫8u2cos⁡(1u)+cos⁡(1u)u3 du\int \frac{8 u^{2} \cos{\left(\frac{1}{u} \right)} + \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{3}}\, du = - \int \frac{8 u^{2} \cos{\left(\frac{1}{u} \right)} + \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{3}}\, du

        1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

          Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−u2cos⁡(u)+8cos⁡(u)u) du\int \left(- \frac{u^{2} \cos{\left(u \right)} + 8 \cos{\left(u \right)}}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2cos⁡(u)+8cos⁡(u)u du=−∫u2cos⁡(u)+8cos⁡(u)u du\int \frac{u^{2} \cos{\left(u \right)} + 8 \cos{\left(u \right)}}{u}\, du = - \int \frac{u^{2} \cos{\left(u \right)} + 8 \cos{\left(u \right)}}{u}\, du

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              u2cos⁡(u)+8cos⁡(u)u=ucos⁡(u)+8cos⁡(u)u\frac{u^{2} \cos{\left(u \right)} + 8 \cos{\left(u \right)}}{u} = u \cos{\left(u \right)} + \frac{8 \cos{\left(u \right)}}{u}

            2. Integramos término a término:

              1. Usamos la integración por partes:

                ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

                que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=cos⁡(u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}.

                Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

                Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Ahora resolvemos podintegral.

              2. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫8cos⁡(u)u du=8∫cos⁡(u)u du\int \frac{8 \cos{\left(u \right)}}{u}\, du = 8 \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{u}\, du

                  CiRule(a=1, b=0, context=cos(_u)/_u, symbol=_u)

                Por lo tanto, el resultado es: 8Ci⁡(u)8 \operatorname{Ci}{\left(u \right)}

              El resultado es: usin⁡(u)+cos⁡(u)+8Ci⁡(u)u \sin{\left(u \right)} + \cos{\left(u \right)} + 8 \operatorname{Ci}{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −usin⁡(u)−cos⁡(u)−8Ci⁡(u)- u \sin{\left(u \right)} - \cos{\left(u \right)} - 8 \operatorname{Ci}{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(1u)−8Ci⁡(1u)−sin⁡(1u)u- \cos{\left(\frac{1}{u} \right)} - 8 \operatorname{Ci}{\left(\frac{1}{u} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(1u)+8Ci⁡(1u)+sin⁡(1u)u\cos{\left(\frac{1}{u} \right)} + 8 \operatorname{Ci}{\left(\frac{1}{u} \right)} + \frac{\sin{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      zsin⁡(z)+cos⁡(z)+8Ci⁡(z)z \sin{\left(z \right)} + \cos{\left(z \right)} + 8 \operatorname{Ci}{\left(z \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      cos⁡(z)z(z2+8)=z2cos⁡(z)+8cos⁡(z)z\frac{\cos{\left(z \right)}}{z} \left(z^{2} + 8\right) = \frac{z^{2} \cos{\left(z \right)} + 8 \cos{\left(z \right)}}{z}

    2. que u=1zu = \frac{1}{z}.

      Luego que du=−dzz2du = - \frac{dz}{z^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−8u2cos⁡(1u)+cos⁡(1u)u3) du\int \left(- \frac{8 u^{2} \cos{\left(\frac{1}{u} \right)} + \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{3}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8u2cos⁡(1u)+cos⁡(1u)u3 du=−∫8u2cos⁡(1u)+cos⁡(1u)u3 du\int \frac{8 u^{2} \cos{\left(\frac{1}{u} \right)} + \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{3}}\, du = - \int \frac{8 u^{2} \cos{\left(\frac{1}{u} \right)} + \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{3}}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          8u2cos⁡(1u)+cos⁡(1u)u3=8cos⁡(1u)u+cos⁡(1u)u3\frac{8 u^{2} \cos{\left(\frac{1}{u} \right)} + \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{3}} = \frac{8 \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{3}}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫8cos⁡(1u)u du=8∫cos⁡(1u)u du\int \frac{8 \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = 8 \int \frac{\cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du

            1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

              Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

              ∫(−cos⁡(u)u) du\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{u}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u)u du=−∫cos⁡(u)u du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\cos{\left(u \right)}}{u}\, du

                  CiRule(a=1, b=0, context=cos(_u)/_u, symbol=_u)

                Por lo tanto, el resultado es: −Ci⁡(u)- \operatorname{Ci}{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −Ci⁡(1u)- \operatorname{Ci}{\left(\frac{1}{u} \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −8Ci⁡(1u)- 8 \operatorname{Ci}{\left(\frac{1}{u} \right)}

          1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

            Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

            ∫(−ucos⁡(u)) du\int \left(- u \cos{\left(u \right)}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫ucos⁡(u) du=−∫ucos⁡(u) du\int u \cos{\left(u \right)}\, du = - \int u \cos{\left(u \right)}\, du

              1. Usamos la integración por partes:

                ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

                que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=cos⁡(u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}.

                Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

                Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Ahora resolvemos podintegral.

              2. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −usin⁡(u)−cos⁡(u)- u \sin{\left(u \right)} - \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(1u)−sin⁡(1u)u- \cos{\left(\frac{1}{u} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}

          El resultado es: −cos⁡(1u)−8Ci⁡(1u)−sin⁡(1u)u- \cos{\left(\frac{1}{u} \right)} - 8 \operatorname{Ci}{\left(\frac{1}{u} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(1u)+8Ci⁡(1u)+sin⁡(1u)u\cos{\left(\frac{1}{u} \right)} + 8 \operatorname{Ci}{\left(\frac{1}{u} \right)} + \frac{\sin{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      zsin⁡(z)+cos⁡(z)+8Ci⁡(z)z \sin{\left(z \right)} + \cos{\left(z \right)} + 8 \operatorname{Ci}{\left(z \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      cos⁡(z)z(z2+8)=zcos⁡(z)+8cos⁡(z)z\frac{\cos{\left(z \right)}}{z} \left(z^{2} + 8\right) = z \cos{\left(z \right)} + \frac{8 \cos{\left(z \right)}}{z}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(z)=zu{\left(z \right)} = z y que dv⁡(z)=cos⁡(z)\operatorname{dv}{\left(z \right)} = \cos{\left(z \right)}.

        Entonces du⁡(z)=1\operatorname{du}{\left(z \right)} = 1.

        Para buscar v(z)v{\left(z \right)}:

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(z) dz=sin⁡(z)\int \cos{\left(z \right)}\, dz = \sin{\left(z \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(z) dz=−cos⁡(z)\int \sin{\left(z \right)}\, dz = - \cos{\left(z \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8cos⁡(z)z dz=8∫cos⁡(z)z dz\int \frac{8 \cos{\left(z \right)}}{z}\, dz = 8 \int \frac{\cos{\left(z \right)}}{z}\, dz

          CiRule(a=1, b=0, context=cos(z)/z, symbol=z)

        Por lo tanto, el resultado es: 8Ci⁡(z)8 \operatorname{Ci}{\left(z \right)}

      El resultado es: zsin⁡(z)+cos⁡(z)+8Ci⁡(z)z \sin{\left(z \right)} + \cos{\left(z \right)} + 8 \operatorname{Ci}{\left(z \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    zsin⁡(z)+cos⁡(z)+8Ci⁡(z)+constantz \sin{\left(z \right)} + \cos{\left(z \right)} + 8 \operatorname{Ci}{\left(z \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

zsin⁡(z)+cos⁡(z)+8Ci⁡(z)+constantz \sin{\left(z \right)} + \cos{\left(z \right)} + 8 \operatorname{Ci}{\left(z \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                    
 |                                                     
 | cos(z) / 2    \                                     
 | ------*\z  + 8/ dz = C + 8*Ci(z) + z*sin(z) + cos(z)
 |   z                                                 
 |                                                     
/
∫cos⁡(z)z(z2+8) dz=C+zsin⁡(z)+cos⁡(z)+8Ci⁡(z)\int \frac{\cos{\left(z \right)}}{z} \left(z^{2} + 8\right)\, dz = C + z \sin{\left(z \right)} + \cos{\left(z \right)} + 8 \operatorname{Ci}{\left(z \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
-oo - cos(c) - 8*Ci(c) - c*sin(c)
−csin⁡(c)−cos⁡(c)−8Ci⁡(c)−∞- c \sin{\left(c \right)} - \cos{\left(c \right)} - 8 \operatorname{Ci}{\left(c \right)} - \infty 
=
= 
-oo - cos(c) - 8*Ci(c) - c*sin(c)
−csin⁡(c)−cos⁡(c)−8Ci⁡(c)−∞- c \sin{\left(c \right)} - \cos{\left(c \right)} - 8 \operatorname{Ci}{\left(c \right)} - \infty 
-oo - cos(c) - 8*Ci(c) - c*sin(c)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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