Integral de e^x*sqrt(3*e^x+5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \sqrt{3 u + 5}\, du$

      1. que $u = 3 u + 5$.

         Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\sqrt{u}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \left(3 u + 5\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \left(3 e^{x} + 5\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

   Método #2

   1. que $u = 3 e^{x} + 5$.

      Luego que $du = 3 e^{x} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\sqrt{u}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \left(3 e^{x} + 5\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(3 e^{x} + 5\right)^{\frac{3}{2}}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(3 e^{x} + 5\right)^{\frac{3}{2}}}{9}+ \mathrm{constant}$