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Resolución de integrales/ sin^6/ sin^6(pi*x/a)

Integral de sin^6(pi*x/a) dx

Solución

Ha introducido [src]

  a              
  /              
 |               
 |     6/pi*x\   
 |  sin |----| dx
 |      \ a  /   
 |               
/                
0

$$\int\limits_{0}^{a} \sin^{6}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)}\, dx$$

Integral(sin((pi*x)/a)^6, (x, 0, a))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\sin^{6}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{2}\right)^{3}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}\right) \cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}$
    2. Hay varias maneras de calcular esta integral.
      
      Método #1
      
      que $u = \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{2 \pi \cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)} dx}{a}$ y ponemos $- \frac{du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \left(- \frac{a u^{2} - a}{2 \pi}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(u^{2} a - a\right)\, du = - \frac{\int \left(u^{2} a - a\right)\, du}{2 \pi}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2} a\, du = a \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3} a}{3}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \left(- a\right)\, du = - u a$
      
      El resultado es: $\frac{u^{3} a}{3} - u a$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\frac{u^{3} a}{3} - u a}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\frac{a \sin^{3}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{3} - a \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{2 \pi}$
      
      Método #2
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}\right) \cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)} = - \sin^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)} + \cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{2 \pi \cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)} dx}{a}$ y ponemos $\frac{a du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{a u^{2}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{a \int u^{2}\, du}{2 \pi}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3} a}{6 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{a \sin^{3}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{6 \pi}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{a \sin^{3}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{6 \pi}$
      
      que $u = \frac{2 \pi x}{a}$ .
      
      Luego que $du = \frac{2 \pi dx}{a}$ y ponemos $\frac{a du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{a \cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{a \int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{a \sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{a \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{2 \pi}$
      
      El resultado es: $- \frac{a \sin^{3}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{6 \pi} + \frac{a \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{2 \pi}$
      
      Método #3
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}\right) \cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)} = - \sin^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)} + \cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)} \cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{2 \pi \cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)} dx}{a}$ y ponemos $\frac{a du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{a u^{2}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{a \int u^{2}\, du}{2 \pi}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3} a}{6 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{a \sin^{3}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{6 \pi}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{a \sin^{3}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{6 \pi}$
      
      que $u = \frac{2 \pi x}{a}$ .
      
      Luego que $du = \frac{2 \pi dx}{a}$ y ponemos $\frac{a du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{a \cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{a \int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{a \sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{a \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{2 \pi}$
      
      El resultado es: $- \frac{a \sin^{3}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{6 \pi} + \frac{a \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{2 \pi}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\frac{a \sin^{3}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{3} - a \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{16 \pi}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{4 \pi x}{a} \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(\frac{4 \pi x}{a} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(\frac{4 \pi x}{a} \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = \frac{4 \pi x}{a}$ .
      
      Luego que $du = \frac{4 \pi dx}{a}$ y ponemos $\frac{a du}{4 \pi}$ :
      
      $\int \frac{a \cos{\left(u \right)}}{4 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{a \int \cos{\left(u \right)}\, du}{4 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{a \sin{\left(u \right)}}{4 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{a \sin{\left(\frac{4 \pi x}{a} \right)}}{4 \pi}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{a \sin{\left(\frac{4 \pi x}{a} \right)}}{8 \pi}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{a \sin{\left(\frac{4 \pi x}{a} \right)}}{8 \pi} + \frac{x}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 a \sin{\left(\frac{4 \pi x}{a} \right)}}{64 \pi} + \frac{3 x}{16}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{3 \cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}\, dx}{8}$
    1. que $u = \frac{2 \pi x}{a}$ .
      
      Luego que $du = \frac{2 \pi dx}{a}$ y ponemos $\frac{a du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{a \cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{a \int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{a \sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{a \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{2 \pi}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 a \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{16 \pi}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
  El resultado es: $- \frac{3 a \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{16 \pi} + \frac{3 a \sin{\left(\frac{4 \pi x}{a} \right)}}{64 \pi} + \frac{5 x}{16} + \frac{\frac{a \sin^{3}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{3} - a \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{16 \pi}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}\right) \cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}$
    2. que $u = \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{2 \pi \cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)} dx}{a}$ y ponemos $- \frac{du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \left(- \frac{a u^{2} - a}{2 \pi}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(u^{2} a - a\right)\, du = - \frac{\int \left(u^{2} a - a\right)\, du}{2 \pi}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2} a\, du = a \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3} a}{3}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \left(- a\right)\, du = - u a$
      
      El resultado es: $\frac{u^{3} a}{3} - u a$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\frac{u^{3} a}{3} - u a}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\frac{a \sin^{3}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{3} - a \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{2 \pi}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\frac{a \sin^{3}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{3} - a \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{16 \pi}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{4 \pi x}{a} \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(\frac{4 \pi x}{a} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(\frac{4 \pi x}{a} \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = \frac{4 \pi x}{a}$ .
      
      Luego que $du = \frac{4 \pi dx}{a}$ y ponemos $\frac{a du}{4 \pi}$ :
      
      $\int \frac{a \cos{\left(u \right)}}{4 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{a \int \cos{\left(u \right)}\, du}{4 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{a \sin{\left(u \right)}}{4 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{a \sin{\left(\frac{4 \pi x}{a} \right)}}{4 \pi}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{a \sin{\left(\frac{4 \pi x}{a} \right)}}{8 \pi}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{a \sin{\left(\frac{4 \pi x}{a} \right)}}{8 \pi} + \frac{x}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 a \sin{\left(\frac{4 \pi x}{a} \right)}}{64 \pi} + \frac{3 x}{16}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{3 \cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}\, dx}{8}$
    1. que $u = \frac{2 \pi x}{a}$ .
      
      Luego que $du = \frac{2 \pi dx}{a}$ y ponemos $\frac{a du}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{a \cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{a \int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{a \sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{a \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{2 \pi}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 a \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{16 \pi}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
  El resultado es: $- \frac{3 a \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{16 \pi} + \frac{3 a \sin{\left(\frac{4 \pi x}{a} \right)}}{64 \pi} + \frac{5 x}{16} + \frac{\frac{a \sin^{3}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{3} - a \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{16 \pi}$
Ahora simplificar:

$\frac{- 45 a \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)} + 9 a \sin{\left(\frac{4 \pi x}{a} \right)} - a \sin{\left(\frac{6 \pi x}{a} \right)} + 60 \pi x}{192 \pi}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{- 45 a \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)} + 9 a \sin{\left(\frac{4 \pi x}{a} \right)} - a \sin{\left(\frac{6 \pi x}{a} \right)} + 60 \pi x}{192 \pi}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{- 45 a \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)} + 9 a \sin{\left(\frac{4 \pi x}{a} \right)} - a \sin{\left(\frac{6 \pi x}{a} \right)} + 60 \pi x}{192 \pi}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

                                                    3/2*pi*x\                                    
                                               a*sin |------|                                    
  /                                 /2*pi*x\         \  a   /          /2*pi*x\          /4*pi*x\
 |                           - a*sin|------| + --------------   3*a*sin|------|   3*a*sin|------|
 |    6/pi*x\          5*x          \  a   /         3                 \  a   /          \  a   /
 | sin |----| dx = C + --- + -------------------------------- - --------------- + ---------------
 |     \ a  /           16                16*pi                      16*pi             64*pi     
 |                                                                                               
/

$$\int \sin^{6}{\left(\frac{\pi x}{a} \right)}\, dx = C - \frac{3 a \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{16 \pi} + \frac{3 a \sin{\left(\frac{4 \pi x}{a} \right)}}{64 \pi} + \frac{5 x}{16} + \frac{\frac{a \sin^{3}{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{3} - a \sin{\left(\frac{2 \pi x}{a} \right)}}{16 \pi}$$

Simplificar

Respuesta [src]

/5*a                                  
|---  for And(a > -oo, a < oo, a != 0)
< 16                                  
|                                     
\ 0              otherwise

$$\begin{cases} \frac{5 a}{16} & \text{for}\: a > -\infty \wedge a < \infty \wedge a \neq 0 \\0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

/5*a                                  
|---  for And(a > -oo, a < oo, a != 0)
< 16                                  
|                                     
\ 0              otherwise

$$\begin{cases} \frac{5 a}{16} & \text{for}\: a > -\infty \wedge a < \infty \wedge a \neq 0 \\0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

Piecewise((5*a/16, (a > -oo)∧(a < oo)∧(Ne(a, 0))), (0, True))

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de sin^6(pi*x/a) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #1

Método #2

Método #3

Método #2