Integral de x^7*e^(-x^2) dx

1. que $u = - x^{2}$.

   Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

   $\int \frac{u^{3} e^{u}}{2}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int u^{3} e^{u}\, du = \frac{\int u^{3} e^{u}\, du}{2}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = 3 u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6 u$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = 6 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 e^{u}\, du = 6 \int e^{u}\, du$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6 e^{u}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3} e^{u}}{2} - \frac{3 u^{2} e^{u}}{2} + 3 u e^{u} - 3 e^{u}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \frac{x^{6} e^{- x^{2}}}{2} - \frac{3 x^{4} e^{- x^{2}}}{2} - 3 x^{2} e^{- x^{2}} - 3 e^{- x^{2}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(x^{6} + 3 x^{4} + 6 x^{2} + 6\right) e^{- x^{2}}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(x^{6} + 3 x^{4} + 6 x^{2} + 6\right) e^{- x^{2}}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(x^{6} + 3 x^{4} + 6 x^{2} + 6\right) e^{- x^{2}}}{2}+ \mathrm{constant}$