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Resolución de integrales/ x^2-3/ Ln(x^2-3)

Integral de Ln(x^2-3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |     / 2    \   
 |  log\x  - 3/ dx
 |                
/                 
0
∫01log⁡(x2−3) dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(x^{2} - 3 \right)}\, dx 
Integral(log(x^2 - 3), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=log⁡(x2−3)u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} - 3 \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

    Entonces du⁡(x)=2xx2−3\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} - 3}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫2x2x2−3 dx=2∫x2x2−3 dx\int \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 3}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} - 3}\, dx

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2x2−3=1+3x2−3\frac{x^{2}}{x^{2} - 3} = 1 + \frac{3}{x^{2} - 3}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x2−3 dx=3∫1x2−3 dx\int \frac{3}{x^{2} - 3}\, dx = 3 \int \frac{1}{x^{2} - 3}\, dx

          PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=-3, context=1/(x**2 - 3), symbol=x), False), (ArccothRule(a=1, b=1, c=-3, context=1/(x**2 - 3), symbol=x), x**2 > 3), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=-3, context=1/(x**2 - 3), symbol=x), x**2 < 3)], context=1/(x**2 - 3), symbol=x)

        Por lo tanto, el resultado es: 3({−3acoth⁡(3x3)3for x2>3−3atanh⁡(3x3)3for x2<3)3 \left(\begin{cases} - \frac{\sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} > 3 \\- \frac{\sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} < 3 \end{cases}\right)

      El resultado es: x+3({−3acoth⁡(3x3)3for x2>3−3atanh⁡(3x3)3for x2<3)x + 3 \left(\begin{cases} - \frac{\sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} > 3 \\- \frac{\sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} < 3 \end{cases}\right)

    Por lo tanto, el resultado es: 2x+6({−3acoth⁡(3x3)3for x2>3−3atanh⁡(3x3)3for x2<3)2 x + 6 \left(\begin{cases} - \frac{\sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} > 3 \\- \frac{\sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} < 3 \end{cases}\right)

  3. Ahora simplificar:

    {xlog⁡(x2−3)−2x+23acoth⁡(3x3)for x2>3xlog⁡(x2−3)−2x+23atanh⁡(3x3)for x2<3\begin{cases} x \log{\left(x^{2} - 3 \right)} - 2 x + 2 \sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} & \text{for}\: x^{2} > 3 \\x \log{\left(x^{2} - 3 \right)} - 2 x + 2 \sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} & \text{for}\: x^{2} < 3 \end{cases}

  4. Añadimos la constante de integración:

    {xlog⁡(x2−3)−2x+23acoth⁡(3x3)for x2>3xlog⁡(x2−3)−2x+23atanh⁡(3x3)for x2<3+constant\begin{cases} x \log{\left(x^{2} - 3 \right)} - 2 x + 2 \sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} & \text{for}\: x^{2} > 3 \\x \log{\left(x^{2} - 3 \right)} - 2 x + 2 \sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} & \text{for}\: x^{2} < 3 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{xlog⁡(x2−3)−2x+23acoth⁡(3x3)for x2>3xlog⁡(x2−3)−2x+23atanh⁡(3x3)for x2<3+constant\begin{cases} x \log{\left(x^{2} - 3 \right)} - 2 x + 2 \sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} & \text{for}\: x^{2} > 3 \\x \log{\left(x^{2} - 3 \right)} - 2 x + 2 \sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)} & \text{for}\: x^{2} < 3 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                          //            /    ___\             \                      
                          ||   ___      |x*\/ 3 |             |                      
                          ||-\/ 3 *acoth|-------|             |                      
  /                       ||            \   3   /        2    |                      
 |                        ||----------------------  for x  > 3|                      
 |    / 2    \            ||          3                       |              / 2    \
 | log\x  - 3/ dx = C - 6*|<                                  | - 2*x + x*log\x  - 3/
 |                        ||            /    ___\             |                      
/                         ||   ___      |x*\/ 3 |             |                      
                          ||-\/ 3 *atanh|-------|             |                      
                          ||            \   3   /        2    |                      
                          ||----------------------  for x  < 3|                      
                          \\          3                       /
∫log⁡(x2−3) dx=C+xlog⁡(x2−3)−2x−6({−3acoth⁡(3x3)3for x2>3−3atanh⁡(3x3)3for x2<3)\int \log{\left(x^{2} - 3 \right)}\, dx = C + x \log{\left(x^{2} - 3 \right)} - 2 x - 6 \left(\begin{cases} - \frac{\sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} > 3 \\- \frac{\sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} < 3 \end{cases}\right)
Simplificar
Gráfica
-0.010-0.008-0.006-0.004-0.0020.0100.0000.0020.0040.0060.0080.00
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
              ___ /          /  ___\\     ___    /      ___\     ___ /          /       ___\\     ___    /  ___\         
-2 + pi*I + \/ 3 *\pi*I + log\\/ 3 // + \/ 3 *log\1 + \/ 3 / - \/ 3 *\pi*I + log\-1 + \/ 3 // - \/ 3 *log\\/ 3 / + log(2)
−2−3log⁡(3)+log⁡(2)+3log⁡(1+3)−3(log⁡(−1+3)+iπ)+iπ+3(log⁡(3)+iπ)-2 - \sqrt{3} \log{\left(\sqrt{3} \right)} + \log{\left(2 \right)} + \sqrt{3} \log{\left(1 + \sqrt{3} \right)} - \sqrt{3} \left(\log{\left(-1 + \sqrt{3} \right)} + i \pi\right) + i \pi + \sqrt{3} \left(\log{\left(\sqrt{3} \right)} + i \pi\right) 
=
= 
              ___ /          /  ___\\     ___    /      ___\     ___ /          /       ___\\     ___    /  ___\         
-2 + pi*I + \/ 3 *\pi*I + log\\/ 3 // + \/ 3 *log\1 + \/ 3 / - \/ 3 *\pi*I + log\-1 + \/ 3 // - \/ 3 *log\\/ 3 / + log(2)
−2−3log⁡(3)+log⁡(2)+3log⁡(1+3)−3(log⁡(−1+3)+iπ)+iπ+3(log⁡(3)+iπ)-2 - \sqrt{3} \log{\left(\sqrt{3} \right)} + \log{\left(2 \right)} + \sqrt{3} \log{\left(1 + \sqrt{3} \right)} - \sqrt{3} \left(\log{\left(-1 + \sqrt{3} \right)} + i \pi\right) + i \pi + \sqrt{3} \left(\log{\left(\sqrt{3} \right)} + i \pi\right) 
-2 + pi*i + sqrt(3)*(pi*i + log(sqrt(3))) + sqrt(3)*log(1 + sqrt(3)) - sqrt(3)*(pi*i + log(-1 + sqrt(3))) - sqrt(3)*log(sqrt(3)) + log(2)
Respuesta numérica [src] 
(0.974185169462784 + 3.14159265358979j)
(0.974185169462784 + 3.14159265358979j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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