Integral de 4/x^5-(1-2x)^3 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \left(1 - 2 x\right)^{3}\right)\, dx = - \int \left(1 - 2 x\right)^{3}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 1 - 2 x$.

            Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{u^{3}}{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{3}\, du = - \frac{\int u^{3}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{8}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\left(1 - 2 x\right)^{4}}{8}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(1 - 2 x\right)^{3} = - 8 x^{3} + 12 x^{2} - 6 x + 1$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 8 x^{3}\right)\, dx = - 8 \int x^{3}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x^{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 12 x^{2}\, dx = 12 \int x^{2}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $4 x^{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 6 x\right)\, dx = - 6 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 3 x^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            El resultado es: $- 2 x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} + x$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(1 - 2 x\right)^{4}}{8}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{4}{x^{5}}\, dx = 4 \int \frac{1}{x^{5}}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $- \frac{1}{4 x^{4}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{x^{4}}$

   El resultado es: $\frac{\left(1 - 2 x\right)^{4}}{8} - \frac{1}{x^{4}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(2 x - 1\right)^{4}}{8} - \frac{1}{x^{4}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(2 x - 1\right)^{4}}{8} - \frac{1}{x^{4}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 x - 1\right)^{4}}{8} - \frac{1}{x^{4}}+ \mathrm{constant}$