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Resolución de integrales/ cos2x/ 2sinx/ sinxcos/ (x^2sinxcos2x)

Integral de (x^2sinxcos2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  pi                      
  --                      
  4                       
   /                      
  |                       
  |   2                   
  |  x *sin(x)*cos(2*x) dx
  |                       
 /                        
-pi                       
----                      
 4
∫−π4π4x2sin⁡(x)cos⁡(2x) dx\int\limits_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} x^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral((x^2*sin(x))*cos(2*x), (x, -pi/4, pi/4))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡(x)cos⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡2(x)−sin⁡(x)\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2sin⁡(x)cos⁡2(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡3(x)3- \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡(x)) dx=−∫sin⁡(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(x)\cos{\left(x \right)}

        El resultado es: −2cos⁡3(x)3+cos⁡(x)- \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + \cos{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2x(−2cos⁡3(x)3+cos⁡(x)) dx=2∫x(−2cos⁡3(x)3+cos⁡(x)) dx\int 2 x \left(- \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = 2 \int x \left(- \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + \cos{\left(x \right)}\right)\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x(−2cos⁡3(x)3+cos⁡(x))=−2xcos⁡3(x)3+xcos⁡(x)x \left(- \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + \cos{\left(x \right)}\right) = - \frac{2 x \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + x \cos{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2xcos⁡3(x)3) dx=−2∫xcos⁡3(x) dx3\int \left(- \frac{2 x \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{2 \int x \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx}{3}

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            2xsin⁡3(x)3+xsin⁡(x)cos⁡2(x)+2sin⁡2(x)cos⁡(x)3+7cos⁡3(x)9\frac{2 x \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + x \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{3} + \frac{7 \cos^{3}{\left(x \right)}}{9}

          Por lo tanto, el resultado es: −4xsin⁡3(x)9−2xsin⁡(x)cos⁡2(x)3−4sin⁡2(x)cos⁡(x)9−14cos⁡3(x)27- \frac{4 x \sin^{3}{\left(x \right)}}{9} - \frac{2 x \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{3} - \frac{4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{9} - \frac{14 \cos^{3}{\left(x \right)}}{27}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        El resultado es: −4xsin⁡3(x)9−2xsin⁡(x)cos⁡2(x)3+xsin⁡(x)−4sin⁡2(x)cos⁡(x)9−14cos⁡3(x)27+cos⁡(x)- \frac{4 x \sin^{3}{\left(x \right)}}{9} - \frac{2 x \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{3} + x \sin{\left(x \right)} - \frac{4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{9} - \frac{14 \cos^{3}{\left(x \right)}}{27} + \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −8xsin⁡3(x)9−4xsin⁡(x)cos⁡2(x)3+2xsin⁡(x)−8sin⁡2(x)cos⁡(x)9−28cos⁡3(x)27+2cos⁡(x)- \frac{8 x \sin^{3}{\left(x \right)}}{9} - \frac{4 x \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{3} + 2 x \sin{\left(x \right)} - \frac{8 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{9} - \frac{28 \cos^{3}{\left(x \right)}}{27} + 2 \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2sin⁡(x)cos⁡(2x)=2x2sin⁡(x)cos⁡2(x)−x2sin⁡(x)x^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 2 x^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - x^{2} \sin{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x2sin⁡(x)cos⁡2(x) dx=2∫x2sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int 2 x^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x^{2} \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          −x2cos⁡3(x)3+4xsin⁡3(x)9+2xsin⁡(x)cos⁡2(x)3+4sin⁡2(x)cos⁡(x)9+14cos⁡3(x)27- \frac{x^{2} \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + \frac{4 x \sin^{3}{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 x \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{3} + \frac{4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{9} + \frac{14 \cos^{3}{\left(x \right)}}{27}

        Por lo tanto, el resultado es: −2x2cos⁡3(x)3+8xsin⁡3(x)9+4xsin⁡(x)cos⁡2(x)3+8sin⁡2(x)cos⁡(x)9+28cos⁡3(x)27- \frac{2 x^{2} \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + \frac{8 x \sin^{3}{\left(x \right)}}{9} + \frac{4 x \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{3} + \frac{8 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{9} + \frac{28 \cos^{3}{\left(x \right)}}{27}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x2sin⁡(x)) dx=−∫x2sin⁡(x) dx\int \left(- x^{2} \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int x^{2} \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=−2xu{\left(x \right)} = - 2 x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=−2\operatorname{du}{\left(x \right)} = -2.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2sin⁡(x)) dx=−2∫sin⁡(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(x)2 \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: x2cos⁡(x)−2xsin⁡(x)−2cos⁡(x)x^{2} \cos{\left(x \right)} - 2 x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}

      El resultado es: −2x2cos⁡3(x)3+x2cos⁡(x)+8xsin⁡3(x)9+4xsin⁡(x)cos⁡2(x)3−2xsin⁡(x)+8sin⁡2(x)cos⁡(x)9+28cos⁡3(x)27−2cos⁡(x)- \frac{2 x^{2} \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + x^{2} \cos{\left(x \right)} + \frac{8 x \sin^{3}{\left(x \right)}}{9} + \frac{4 x \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{3} - 2 x \sin{\left(x \right)} + \frac{8 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{9} + \frac{28 \cos^{3}{\left(x \right)}}{27} - 2 \cos{\left(x \right)}

  2. Ahora simplificar:

    −2x2cos⁡3(x)3+x2cos⁡(x)−4xsin⁡3(x)9−2xsin⁡(x)3+4cos⁡3(x)27−10cos⁡(x)9- \frac{2 x^{2} \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + x^{2} \cos{\left(x \right)} - \frac{4 x \sin^{3}{\left(x \right)}}{9} - \frac{2 x \sin{\left(x \right)}}{3} + \frac{4 \cos^{3}{\left(x \right)}}{27} - \frac{10 \cos{\left(x \right)}}{9}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −2x2cos⁡3(x)3+x2cos⁡(x)−4xsin⁡3(x)9−2xsin⁡(x)3+4cos⁡3(x)27−10cos⁡(x)9+constant- \frac{2 x^{2} \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + x^{2} \cos{\left(x \right)} - \frac{4 x \sin^{3}{\left(x \right)}}{9} - \frac{2 x \sin{\left(x \right)}}{3} + \frac{4 \cos^{3}{\left(x \right)}}{27} - \frac{10 \cos{\left(x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−2x2cos⁡3(x)3+x2cos⁡(x)−4xsin⁡3(x)9−2xsin⁡(x)3+4cos⁡3(x)27−10cos⁡(x)9+constant- \frac{2 x^{2} \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + x^{2} \cos{\left(x \right)} - \frac{4 x \sin^{3}{\left(x \right)}}{9} - \frac{2 x \sin{\left(x \right)}}{3} + \frac{4 \cos^{3}{\left(x \right)}}{27} - \frac{10 \cos{\left(x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                                                
 |                                              3         /       3            \                       3           2                    2          
 |  2                                     28*cos (x)    2 |  2*cos (x)         |                8*x*sin (x)   8*sin (x)*cos(x)   4*x*cos (x)*sin(x)
 | x *sin(x)*cos(2*x) dx = C - 2*cos(x) + ---------- + x *|- --------- + cos(x)| - 2*x*sin(x) + ----------- + ---------------- + ------------------
 |                                            27          \      3             /                     9               9                   3         
/
∫x2sin⁡(x)cos⁡(2x) dx=C+x2(−2cos⁡3(x)3+cos⁡(x))+8xsin⁡3(x)9+4xsin⁡(x)cos⁡2(x)3−2xsin⁡(x)+8sin⁡2(x)cos⁡(x)9+28cos⁡3(x)27−2cos⁡(x)\int x^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = C + x^{2} \left(- \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + \cos{\left(x \right)}\right) + \frac{8 x \sin^{3}{\left(x \right)}}{9} + \frac{4 x \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{3} - 2 x \sin{\left(x \right)} + \frac{8 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{9} + \frac{28 \cos^{3}{\left(x \right)}}{27} - 2 \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.00.10.20.30.40.50.60.71-1
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
0
00 
=
= 
0
00 
0
Respuesta numérica [src] 
0.0
0.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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