Sr Examen

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Resolución de integrales/ (x/3)/ (3x+2)/ (3x+2)*sin(x/3)

Integral de (3x+2)*sin(x/3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
  /                    
 |                     
 |               /x\   
 |  (3*x + 2)*sin|-| dx
 |               \3/   
 |                     
/                      
0
∫01(3x+2)sin⁡(x3) dx\int\limits_{0}^{1} \left(3 x + 2\right) \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx 
Integral((3*x + 2)*sin(x/3), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x+2)sin⁡(x3)=3xsin⁡(x3)+2sin⁡(x3)\left(3 x + 2\right) \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} = 3 x \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + 2 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xsin⁡(x3) dx=3∫xsin⁡(x3) dx\int 3 x \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx = 3 \int x \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x3)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

            Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

            ∫3sin⁡(u) du\int 3 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=3∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 3 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡(u)- 3 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −3cos⁡(x3)- 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−3cos⁡(x3)) dx=−3∫cos⁡(x3) dx\int \left(- 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\right)\, dx = - 3 \int \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx

          1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

            Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

            ∫3cos⁡(u) du\int 3 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=3∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 3 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 3sin⁡(u)3 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            3sin⁡(x3)3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −9sin⁡(x3)- 9 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −9xcos⁡(x3)+27sin⁡(x3)- 9 x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 27 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(x3) dx=2∫sin⁡(x3) dx\int 2 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx

        1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

          Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

          ∫3sin⁡(u) du\int 3 \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=3∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 3 \int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡(u)- 3 \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −3cos⁡(x3)- 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −6cos⁡(x3)- 6 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

      El resultado es: −9xcos⁡(x3)+27sin⁡(x3)−6cos⁡(x3)- 9 x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 27 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - 6 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=3x+2u{\left(x \right)} = 3 x + 2 y que dv⁡(x)=sin⁡(x3)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}.

      Entonces du⁡(x)=3\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

        Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

        ∫3sin⁡(u) du\int 3 \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=3∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 3 \int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡(u)- 3 \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −3cos⁡(x3)- 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−9cos⁡(x3)) dx=−9∫cos⁡(x3) dx\int \left(- 9 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\right)\, dx = - 9 \int \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx

      1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

        Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

        ∫3cos⁡(u) du\int 3 \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=3∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 3 \int \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 3sin⁡(u)3 \sin{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        3sin⁡(x3)3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −27sin⁡(x3)- 27 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x+2)sin⁡(x3)=3xsin⁡(x3)+2sin⁡(x3)\left(3 x + 2\right) \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} = 3 x \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + 2 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xsin⁡(x3) dx=3∫xsin⁡(x3) dx\int 3 x \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx = 3 \int x \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x3)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

            Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

            ∫3sin⁡(u) du\int 3 \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=3∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 3 \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡(u)- 3 \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −3cos⁡(x3)- 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−3cos⁡(x3)) dx=−3∫cos⁡(x3) dx\int \left(- 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\right)\, dx = - 3 \int \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx

          1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

            Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

            ∫3cos⁡(u) du\int 3 \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=3∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 3 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 3sin⁡(u)3 \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            3sin⁡(x3)3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −9sin⁡(x3)- 9 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −9xcos⁡(x3)+27sin⁡(x3)- 9 x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 27 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(x3) dx=2∫sin⁡(x3) dx\int 2 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx

        1. que u=x3u = \frac{x}{3}.

          Luego que du=dx3du = \frac{dx}{3} y ponemos 3du3 du:

          ∫3sin⁡(u) du\int 3 \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=3∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du = 3 \int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡(u)- 3 \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −3cos⁡(x3)- 3 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −6cos⁡(x3)- 6 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

      El resultado es: −9xcos⁡(x3)+27sin⁡(x3)−6cos⁡(x3)- 9 x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 27 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - 6 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −9xcos⁡(x3)+27sin⁡(x3)−6cos⁡(x3)+constant- 9 x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 27 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - 6 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−9xcos⁡(x3)+27sin⁡(x3)−6cos⁡(x3)+constant- 9 x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 27 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - 6 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                           
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 |              /x\               /x\         /x\          /x\
 | (3*x + 2)*sin|-| dx = C - 6*cos|-| + 27*sin|-| - 9*x*cos|-|
 |              \3/               \3/         \3/          \3/
 |                                                            
/
∫(3x+2)sin⁡(x3) dx=C−9xcos⁡(x3)+27sin⁡(x3)−6cos⁡(x3)\int \left(3 x + 2\right) \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx = C - 9 x \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + 27 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - 6 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
6 - 15*cos(1/3) + 27*sin(1/3)
−15cos⁡(13)+6+27sin⁡(13)- 15 \cos{\left(\frac{1}{3} \right)} + 6 + 27 \sin{\left(\frac{1}{3} \right)} 
=
= 
6 - 15*cos(1/3) + 27*sin(1/3)
−15cos⁡(13)+6+27sin⁡(13)- 15 \cos{\left(\frac{1}{3} \right)} + 6 + 27 \sin{\left(\frac{1}{3} \right)} 
6 - 15*cos(1/3) + 27*sin(1/3)
Respuesta numérica [src] 
0.659902618775046
0.659902618775046

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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