Sr Examen

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Resolución de integrales/ (4-x)/ (2x+3)/ (2x+3)/(4-x)^1/2

Integral de (2x+3)/(4-x)^1/2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  4             
  /             
 |              
 |   2*x + 3    
 |  --------- dx
 |    _______   
 |  \/ 4 - x    
 |              
/               
0
∫042x+34−x dx\int\limits_{0}^{4} \frac{2 x + 3}{\sqrt{4 - x}}\, dx 
Integral((2*x + 3)/sqrt(4 - x), (x, 0, 4))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=4−xu = \sqrt{4 - x}.

      Luego que du=−dx24−xdu = - \frac{dx}{2 \sqrt{4 - x}} y ponemos dudu:

      ∫(4u2−22) du\int \left(4 u^{2} - 22\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫4u2 du=4∫u2 du\int 4 u^{2}\, du = 4 \int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: 4u33\frac{4 u^{3}}{3}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−22) du=−22u\int \left(-22\right)\, du = - 22 u

        El resultado es: 4u33−22u\frac{4 u^{3}}{3} - 22 u

      Si ahora sustituir uu más en:

      4(4−x)323−224−x\frac{4 \left(4 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 22 \sqrt{4 - x}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2x+34−x=2x4−x+34−x\frac{2 x + 3}{\sqrt{4 - x}} = \frac{2 x}{\sqrt{4 - x}} + \frac{3}{\sqrt{4 - x}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x4−x dx=2∫x4−x dx\int \frac{2 x}{\sqrt{4 - x}}\, dx = 2 \int \frac{x}{\sqrt{4 - x}}\, dx

        1. que u=14−xu = \frac{1}{\sqrt{4 - x}}.

          Luego que du=dx2(4−x)32du = \frac{dx}{2 \left(4 - x\right)^{\frac{3}{2}}} y ponemos dudu:

          ∫(−2(4−1u2)2+32−8u2) du\int \left(- 2 \left(4 - \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} + 32 - \frac{8}{u^{2}}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−2(4−1u2)2) du=−2∫(4−1u2)2 du\int \left(- 2 \left(4 - \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(4 - \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}\, du

              1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                Método #1

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  (4−1u2)2=16−8u2+1u4\left(4 - \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} = 16 - \frac{8}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}

                2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫16 du=16u\int 16\, du = 16 u

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫(−8u2) du=−8∫1u2 du\int \left(- \frac{8}{u^{2}}\right)\, du = - 8 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

                    1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                      ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                    Por lo tanto, el resultado es: 8u\frac{8}{u}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

                  El resultado es: 16u+8u−13u316 u + \frac{8}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}

                Método #2

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  (4−1u2)2=16u4−8u2+1u4\left(4 - \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} = \frac{16 u^{4} - 8 u^{2} + 1}{u^{4}}

                2. Vuelva a escribir el integrando:

                  16u4−8u2+1u4=16−8u2+1u4\frac{16 u^{4} - 8 u^{2} + 1}{u^{4}} = 16 - \frac{8}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}

                3. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫16 du=16u\int 16\, du = 16 u

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫(−8u2) du=−8∫1u2 du\int \left(- \frac{8}{u^{2}}\right)\, du = - 8 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

                    1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                      ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                    Por lo tanto, el resultado es: 8u\frac{8}{u}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

                  El resultado es: 16u+8u−13u316 u + \frac{8}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}

              Por lo tanto, el resultado es: −32u−16u+23u3- 32 u - \frac{16}{u} + \frac{2}{3 u^{3}}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫32 du=32u\int 32\, du = 32 u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−8u2) du=−8∫1u2 du\int \left(- \frac{8}{u^{2}}\right)\, du = - 8 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

              Por lo tanto, el resultado es: 8u\frac{8}{u}

            El resultado es: −8u+23u3- \frac{8}{u} + \frac{2}{3 u^{3}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2(4−x)323−84−x\frac{2 \left(4 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 \sqrt{4 - x}

        Por lo tanto, el resultado es: 4(4−x)323−164−x\frac{4 \left(4 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 16 \sqrt{4 - x}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫34−x dx=3∫14−x dx\int \frac{3}{\sqrt{4 - x}}\, dx = 3 \int \frac{1}{\sqrt{4 - x}}\, dx

        1. que u=4−xu = 4 - x.

          Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −du- du:

          ∫(−1u) du\int \left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=−∫1u du\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −2u- 2 \sqrt{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −24−x- 2 \sqrt{4 - x}

        Por lo tanto, el resultado es: −64−x- 6 \sqrt{4 - x}

      El resultado es: 4(4−x)323−224−x\frac{4 \left(4 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 22 \sqrt{4 - x}

  2. Ahora simplificar:

    −24−x(2x+25)3- \frac{2 \sqrt{4 - x} \left(2 x + 25\right)}{3}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −24−x(2x+25)3+constant- \frac{2 \sqrt{4 - x} \left(2 x + 25\right)}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−24−x(2x+25)3+constant- \frac{2 \sqrt{4 - x} \left(2 x + 25\right)}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                              
 |                                            3/2
 |  2*x + 3                _______   4*(4 - x)   
 | --------- dx = C - 22*\/ 4 - x  + ------------
 |   _______                              3      
 | \/ 4 - x                                      
 |                                               
/
∫2x+34−x dx=C+4(4−x)323−224−x\int \frac{2 x + 3}{\sqrt{4 - x}}\, dx = C + \frac{4 \left(4 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 22 \sqrt{4 - x}
Simplificar
Gráfica
0.04.00.51.01.52.02.53.03.5-5001000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
100/3
1003\frac{100}{3} 
=
= 
100/3
1003\frac{100}{3} 
100/3
Respuesta numérica [src] 
33.3333333216627
33.3333333216627

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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