Integral de 6ctg^3x dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 6 \cot^{3}{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \cot^{3}{\left(x \right)}\, dx$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\cot^{3}{\left(x \right)} = \left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \cot{\left(x \right)}$

   2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \csc^{2}{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - 2 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{u - 1}{2 u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u - 1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{u - 1}{u}\, du}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

               El resultado es: $u - \log{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{2} + \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \cot{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \cot{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cot{\left(x \right)}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

            2. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$

         El resultado es: $- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \cot{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. que $u = \csc{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \cot{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cot{\left(x \right)}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

            2. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$

         El resultado es: $- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $3 \log{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} \right)} - 3 \csc^{2}{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $3 \log{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} \right)} - 3 \csc^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 \log{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} \right)} - 3 \csc^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$