Integral de (1-x)^3/x^(1/5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[5]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- 5 u^{18} + 15 u^{13} - 15 u^{8} + 5 u^{3}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 5 u^{18}\right)\, du = - 5 \int u^{18}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 u^{19}}{19}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 15 u^{13}\, du = 15 \int u^{13}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{13}\, du = \frac{u^{14}}{14}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{15 u^{14}}{14}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 15 u^{8}\right)\, du = - 15 \int u^{8}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 u^{9}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 5 u^{3}\, du = 5 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{4}}{4}$

         El resultado es: $- \frac{5 u^{19}}{19} + \frac{15 u^{14}}{14} - \frac{5 u^{9}}{3} + \frac{5 u^{4}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{5 x^{\frac{19}{5}}}{19} + \frac{15 x^{\frac{14}{5}}}{14} - \frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{3} + \frac{5 x^{\frac{4}{5}}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(1 - x\right)^{3}}{\sqrt[5]{x}} = - \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{\sqrt[5]{x}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{\sqrt[5]{x}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{\sqrt[5]{x}}\, dx$

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt[5]{x}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{5 x^{\frac{6}{5}}}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{5 u^{15} - 15 u^{10} + 15 u^{5} - 5}{u^{20}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{5 u^{15} - 15 u^{10} + 15 u^{5} - 5}{u^{20}} = \frac{5}{u^{5}} - \frac{15}{u^{10}} + \frac{15}{u^{15}} - \frac{5}{u^{20}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{5}{u^{5}}\, du = 5 \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5}{4 u^{4}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{15}{u^{10}}\right)\, du = - 15 \int \frac{1}{u^{10}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{10}}\, du = - \frac{1}{9 u^{9}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5}{3 u^{9}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{15}{u^{15}}\, du = 15 \int \frac{1}{u^{15}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{15}}\, du = - \frac{1}{14 u^{14}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{15}{14 u^{14}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{5}{u^{20}}\right)\, du = - 5 \int \frac{1}{u^{20}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{20}}\, du = - \frac{1}{19 u^{19}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5}{19 u^{19}}$

            El resultado es: $- \frac{5}{4 u^{4}} + \frac{5}{3 u^{9}} - \frac{15}{14 u^{14}} + \frac{5}{19 u^{19}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{5 x^{\frac{19}{5}}}{19} - \frac{15 x^{\frac{14}{5}}}{14} + \frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{3} - \frac{5 x^{\frac{4}{5}}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 x^{\frac{19}{5}}}{19} + \frac{15 x^{\frac{14}{5}}}{14} - \frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{3} + \frac{5 x^{\frac{4}{5}}}{4}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(1 - x\right)^{3}}{\sqrt[5]{x}} = - x^{\frac{14}{5}} + 3 x^{\frac{9}{5}} - 3 x^{\frac{4}{5}} + \frac{1}{\sqrt[5]{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{\frac{14}{5}}\right)\, dx = - \int x^{\frac{14}{5}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{14}{5}}\, dx = \frac{5 x^{\frac{19}{5}}}{19}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 x^{\frac{19}{5}}}{19}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{\frac{9}{5}}\, dx = 3 \int x^{\frac{9}{5}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{9}{5}}\, dx = \frac{5 x^{\frac{14}{5}}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{15 x^{\frac{14}{5}}}{14}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 x^{\frac{4}{5}}\right)\, dx = - 3 \int x^{\frac{4}{5}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{4}{5}}\, dx = \frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt[5]{x}}\, dx = \frac{5 x^{\frac{4}{5}}}{4}$

      El resultado es: $- \frac{5 x^{\frac{19}{5}}}{19} + \frac{15 x^{\frac{14}{5}}}{14} - \frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{3} + \frac{5 x^{\frac{4}{5}}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{5 x^{\frac{4}{5}} \left(- 84 x^{3} + 342 x^{2} - 532 x + 399\right)}{1596}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5 x^{\frac{4}{5}} \left(- 84 x^{3} + 342 x^{2} - 532 x + 399\right)}{1596}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 x^{\frac{4}{5}} \left(- 84 x^{3} + 342 x^{2} - 532 x + 399\right)}{1596}+ \mathrm{constant}$