Integral de e^(-x)*sin(10x) dx

1. que $u = - x$.

   Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

   $\int e^{u} \sin{\left(10 u \right)}\, du$

   1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

      1. Para el integrando $e^{u} \sin{\left(10 u \right)}$:

         que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(10 u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\int e^{u} \sin{\left(10 u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(10 u \right)} - \int 10 e^{u} \cos{\left(10 u \right)}\, du$.

      2. Para el integrando $10 e^{u} \cos{\left(10 u \right)}$:

         que $u{\left(u \right)} = 10 \cos{\left(10 u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\int e^{u} \sin{\left(10 u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(10 u \right)} - 10 e^{u} \cos{\left(10 u \right)} + \int \left(- 100 e^{u} \sin{\left(10 u \right)}\right)\, du$.

      3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

         $101 \int e^{u} \sin{\left(10 u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(10 u \right)} - 10 e^{u} \cos{\left(10 u \right)}$

         Por lo tanto,

         $\int e^{u} \sin{\left(10 u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(10 u \right)}}{101} - \frac{10 e^{u} \cos{\left(10 u \right)}}{101}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \frac{e^{- x} \sin{\left(10 x \right)}}{101} - \frac{10 e^{- x} \cos{\left(10 x \right)}}{101}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(\sin{\left(10 x \right)} + 10 \cos{\left(10 x \right)}\right) e^{- x}}{101}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(\sin{\left(10 x \right)} + 10 \cos{\left(10 x \right)}\right) e^{- x}}{101}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(\sin{\left(10 x \right)} + 10 \cos{\left(10 x \right)}\right) e^{- x}}{101}+ \mathrm{constant}$