Integral de -8x-(((4-2x)^3)/3)+16 dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 8 x\right)\, dx = - 8 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 x^{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\left(4 - 2 x\right)^{3}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int \left(4 - 2 x\right)^{3}\, dx}{3}$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = 4 - 2 x$.

               Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{u^{3}}{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{3}\, du = - \frac{\int u^{3}\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{8}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\left(4 - 2 x\right)^{4}}{8}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\left(4 - 2 x\right)^{3} = - 8 x^{3} + 48 x^{2} - 96 x + 64$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 8 x^{3}\right)\, dx = - 8 \int x^{3}\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x^{4}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 48 x^{2}\, dx = 48 \int x^{2}\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $16 x^{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 96 x\right)\, dx = - 96 \int x\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 48 x^{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 64\, dx = 64 x$

               El resultado es: $- 2 x^{4} + 16 x^{3} - 48 x^{2} + 64 x$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(4 - 2 x\right)^{4}}{24}$

      El resultado es: $- 4 x^{2} + \frac{\left(4 - 2 x\right)^{4}}{24}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 16\, dx = 16 x$

   El resultado es: $- 4 x^{2} + 16 x + \frac{\left(4 - 2 x\right)^{4}}{24}$

2. Ahora simplificar:

   $- 4 x^{2} + 16 x + \frac{2 \left(x - 2\right)^{4}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 4 x^{2} + 16 x + \frac{2 \left(x - 2\right)^{4}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 4 x^{2} + 16 x + \frac{2 \left(x - 2\right)^{4}}{3}+ \mathrm{constant}$