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Integral de (x^5+x^4-8)/(x^3-4x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  0               
  /               
 |                
 |   5    4       
 |  x  + x  - 8   
 |  ----------- dx
 |     3          
 |    x  - 4*x    
 |                
/                 
0                 
00(x5+x4)8x34xdx\int\limits_{0}^{0} \frac{\left(x^{5} + x^{4}\right) - 8}{x^{3} - 4 x}\, dx
Integral((x^5 + x^4 - 8)/(x^3 - 4*x), (x, 0, 0))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x5+x4)8x34x=x2+x+43x+2+5x2+2x\frac{\left(x^{5} + x^{4}\right) - 8}{x^{3} - 4 x} = x^{2} + x + 4 - \frac{3}{x + 2} + \frac{5}{x - 2} + \frac{2}{x}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        4dx=4x\int 4\, dx = 4 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (3x+2)dx=31x+2dx\int \left(- \frac{3}{x + 2}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

        1. que u=x+2u = x + 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 3log(x+2)- 3 \log{\left(x + 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        5x2dx=51x2dx\int \frac{5}{x - 2}\, dx = 5 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

        1. que u=x2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(x2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 5log(x2)5 \log{\left(x - 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        2xdx=21xdx\int \frac{2}{x}\, dx = 2 \int \frac{1}{x}\, dx

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: 2log(x)2 \log{\left(x \right)}

      El resultado es: x33+x22+4x+2log(x)+5log(x2)3log(x+2)\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 2 \log{\left(x \right)} + 5 \log{\left(x - 2 \right)} - 3 \log{\left(x + 2 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x5+x4)8x34x=x5x34x+x4x34x8x34x\frac{\left(x^{5} + x^{4}\right) - 8}{x^{3} - 4 x} = \frac{x^{5}}{x^{3} - 4 x} + \frac{x^{4}}{x^{3} - 4 x} - \frac{8}{x^{3} - 4 x}

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x5x34x=x2+44x+2+4x2\frac{x^{5}}{x^{3} - 4 x} = x^{2} + 4 - \frac{4}{x + 2} + \frac{4}{x - 2}

      2. Integramos término a término:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          x2dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          4dx=4x\int 4\, dx = 4 x

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (4x+2)dx=41x+2dx\int \left(- \frac{4}{x + 2}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

          1. que u=x+2u = x + 2.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 4log(x+2)- 4 \log{\left(x + 2 \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          4x2dx=41x2dx\int \frac{4}{x - 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

          1. que u=x2u = x - 2.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log(x2)\log{\left(x - 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 4log(x2)4 \log{\left(x - 2 \right)}

        El resultado es: x33+4x+4log(x2)4log(x+2)\frac{x^{3}}{3} + 4 x + 4 \log{\left(x - 2 \right)} - 4 \log{\left(x + 2 \right)}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x4x34x=x+2x+2+2x2\frac{x^{4}}{x^{3} - 4 x} = x + \frac{2}{x + 2} + \frac{2}{x - 2}

      2. Integramos término a término:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          2x+2dx=21x+2dx\int \frac{2}{x + 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x + 2}\, dx

          1. que u=x+2u = x + 2.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2log(x+2)2 \log{\left(x + 2 \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          2x2dx=21x2dx\int \frac{2}{x - 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx

          1. que u=x2u = x - 2.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log(x2)\log{\left(x - 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2log(x2)2 \log{\left(x - 2 \right)}

        El resultado es: x22+2log(x2)+2log(x+2)\frac{x^{2}}{2} + 2 \log{\left(x - 2 \right)} + 2 \log{\left(x + 2 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (8x34x)dx=81x34xdx\int \left(- \frac{8}{x^{3} - 4 x}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{x^{3} - 4 x}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          1x34x=18(x+2)+18(x2)14x\frac{1}{x^{3} - 4 x} = \frac{1}{8 \left(x + 2\right)} + \frac{1}{8 \left(x - 2\right)} - \frac{1}{4 x}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            18(x+2)dx=1x+2dx8\int \frac{1}{8 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 2}\, dx}{8}

            1. que u=x+2u = x + 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              1udu\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log(x+2)\log{\left(x + 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log(x+2)8\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{8}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            18(x2)dx=1x2dx8\int \frac{1}{8 \left(x - 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{8}

            1. que u=x2u = x - 2.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              1udu\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log(x2)\log{\left(x - 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log(x2)8\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{8}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (14x)dx=1xdx4\int \left(- \frac{1}{4 x}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{4}

            1. Integral 1x\frac{1}{x} es log(x)\log{\left(x \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log(x)4- \frac{\log{\left(x \right)}}{4}

          El resultado es: log(x)4+log(x2)8+log(x+2)8- \frac{\log{\left(x \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{8} + \frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: 2log(x)log(x2)log(x+2)2 \log{\left(x \right)} - \log{\left(x - 2 \right)} - \log{\left(x + 2 \right)}

      El resultado es: x33+x22+4x+2log(x)+5log(x2)3log(x+2)\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 2 \log{\left(x \right)} + 5 \log{\left(x - 2 \right)} - 3 \log{\left(x + 2 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x33+x22+4x+2log(x)+5log(x2)3log(x+2)+constant\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 2 \log{\left(x \right)} + 5 \log{\left(x - 2 \right)} - 3 \log{\left(x + 2 \right)}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x33+x22+4x+2log(x)+5log(x2)3log(x+2)+constant\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 2 \log{\left(x \right)} + 5 \log{\left(x - 2 \right)} - 3 \log{\left(x + 2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                            
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 |  5    4               2                                                    3
 | x  + x  - 8          x                                                    x 
 | ----------- dx = C + -- - 3*log(2 + x) + 2*log(x) + 4*x + 5*log(-2 + x) + --
 |    3                 2                                                    3 
 |   x  - 4*x                                                                  
 |                                                                             
/                                                                              
(x5+x4)8x34xdx=C+x33+x22+4x+2log(x)+5log(x2)3log(x+2)\int \frac{\left(x^{5} + x^{4}\right) - 8}{x^{3} - 4 x}\, dx = C + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 2 \log{\left(x \right)} + 5 \log{\left(x - 2 \right)} - 3 \log{\left(x + 2 \right)}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.02-0.02
Respuesta [src]
0
00
=
=
0
00
0
Respuesta numérica [src]
0.0
0.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.