Sr Examen

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Integral de ln(x)/x^(1/3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1          
  /          
 |           
 |  log(x)   
 |  ------ dx
 |  3 ___    
 |  \/ x     
 |           
/            
0            
01log(x)x3dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt[3]{x}}\, dx
Integral(log(x)/x^(1/3), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ue2u3du\int u e^{\frac{2 u}{3}}\, du

      1. Usamos la integración por partes:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e2u3\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{\frac{2 u}{3}}.

        Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=2u3u = \frac{2 u}{3}.

          Luego que du=2du3du = \frac{2 du}{3} y ponemos 3du2\frac{3 du}{2}:

          3eu2du\int \frac{3 e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 3eu2\frac{3 e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          3e2u32\frac{3 e^{\frac{2 u}{3}}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        3e2u32du=3e2u3du2\int \frac{3 e^{\frac{2 u}{3}}}{2}\, du = \frac{3 \int e^{\frac{2 u}{3}}\, du}{2}

        1. que u=2u3u = \frac{2 u}{3}.

          Luego que du=2du3du = \frac{2 du}{3} y ponemos 3du2\frac{3 du}{2}:

          3eu2du\int \frac{3 e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 3eu2\frac{3 e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          3e2u32\frac{3 e^{\frac{2 u}{3}}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 9e2u34\frac{9 e^{\frac{2 u}{3}}}{4}

      Si ahora sustituir uu más en:

      3x23log(x)29x234\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{9 x^{\frac{2}{3}}}{4}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv(x)=1x3\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}.

      Entonces du(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        1x3dx=3x232\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      32x3dx=31x3dx2\int \frac{3}{2 \sqrt[3]{x}}\, dx = \frac{3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx}{2}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        1x3dx=3x232\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: 9x234\frac{9 x^{\frac{2}{3}}}{4}

  2. Ahora simplificar:

    3x23(2log(x)3)4\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    3x23(2log(x)3)4+constant\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{4}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

3x23(2log(x)3)4+constant\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                      
 |                    2/3      2/3       
 | log(x)          9*x      3*x   *log(x)
 | ------ dx = C - ------ + -------------
 | 3 ___             4            2      
 | \/ x                                  
 |                                       
/                                        
log(x)x3dx=C+3x23log(x)29x234\int \frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt[3]{x}}\, dx = C + \frac{3 x^{\frac{2}{3}} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{9 x^{\frac{2}{3}}}{4}
Respuesta [src]
-9/4
94- \frac{9}{4}
=
=
-9/4
94- \frac{9}{4}
-9/4
Respuesta numérica [src]
-2.24999999998572
-2.24999999998572

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.