Integral de ln(x)/x^(1/3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int u e^{\frac{2 u}{3}}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{\frac{2 u}{3}}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. que $u = \frac{2 u}{3}$.

            Luego que $du = \frac{2 du}{3}$ y ponemos $\frac{3 du}{2}$:

            $\int \frac{3 e^{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{3 e^{\frac{2 u}{3}}}{2}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 e^{\frac{2 u}{3}}}{2}\, du = \frac{3 \int e^{\frac{2 u}{3}}\, du}{2}$

         1. que $u = \frac{2 u}{3}$.

            Luego que $du = \frac{2 du}{3}$ y ponemos $\frac{3 du}{2}$:

            $\int \frac{3 e^{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{3 e^{\frac{2 u}{3}}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 e^{\frac{2 u}{3}}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{9 x^{\frac{2}{3}}}{4}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3}{2 \sqrt[3]{x}}\, dx = \frac{3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx}{2}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 x^{\frac{2}{3}}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{4}+ \mathrm{constant}$