Sr Examen

Integral de sinxlogx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                 
  /                 
 |                  
 |  sin(x)*log(x) dx
 |                  
/                   
0                   
01log(x)sin(x)dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}\, dx
Integral(sin(x)*log(x), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ueusin(eu)du\int u e^{u} \sin{\left(e^{u} \right)}\, du

      1. Usamos la integración por partes:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=eusin(eu)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u} \sin{\left(e^{u} \right)}.

        Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=euu = e^{u}.

          Luego que du=eududu = e^{u} du y ponemos dudu:

          sin(u)du\int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          cos(eu)- \cos{\left(e^{u} \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (cos(eu))du=cos(eu)du\int \left(- \cos{\left(e^{u} \right)}\right)\, du = - \int \cos{\left(e^{u} \right)}\, du

        1. que u=euu = e^{u}.

          Luego que du=eududu = e^{u} du y ponemos dudu:

          cos(u)udu\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{u}\, du

            CiRule(a=1, b=0, context=cos(_u)/_u, symbol=_u)

          Si ahora sustituir uu más en:

          Ci(eu)\operatorname{Ci}{\left(e^{u} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: Ci(eu)- \operatorname{Ci}{\left(e^{u} \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log(x)cos(x)+Ci(x)- \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \operatorname{Ci}{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv(x)=sin(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

      Entonces du(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        sin(x)dx=cos(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      (cos(x)x)dx=cos(x)xdx\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\, dx

        CiRule(a=1, b=0, context=cos(x)/x, symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: Ci(x)- \operatorname{Ci}{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    log(x)cos(x)+Ci(x)+constant- \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \operatorname{Ci}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

log(x)cos(x)+Ci(x)+constant- \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \operatorname{Ci}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                            
 |                                             
 | sin(x)*log(x) dx = C - cos(x)*log(x) + Ci(x)
 |                                             
/                                              
log(x)sin(x)dx=Clog(x)cos(x)+Ci(x)\int \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}\, dx = C - \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \operatorname{Ci}{\left(x \right)}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-1
Respuesta [src]
-EulerGamma + Ci(1)
γ+Ci(1)- \gamma + \operatorname{Ci}{\left(1 \right)}
=
=
-EulerGamma + Ci(1)
γ+Ci(1)- \gamma + \operatorname{Ci}{\left(1 \right)}
-EulerGamma + Ci(1)
Respuesta numérica [src]
-0.239811742000565
-0.239811742000565

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.