Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 32.9953908591221$$
$$x_{2} = 7.91497769383021$$
$$x_{3} = 26.7149311915258$$
$$x_{4} = 51.8411644567759$$
$$x_{5} = 86.3963937735675$$
$$x_{6} = 2.12761582523344$$
$$x_{7} = 45.5588408894342$$
$$x_{8} = 54.9824103570705$$
$$x_{9} = 89.5378754494563$$
$$x_{10} = 80.1134602593311$$
$$x_{11} = 17.2990352355066$$
$$x_{12} = 70.6891567862013$$
$$x_{13} = 95.8208633135828$$
$$x_{14} = 48.6999705880551$$
$$x_{15} = 39.2768442680313$$
$$x_{16} = 98.9623678062405$$
$$x_{17} = 64.406377021222$$
$$x_{18} = 83.2549216304705$$
$$x_{19} = 23.5753663871051$$
$$x_{20} = 29.8549920106507$$
$$x_{21} = 11.0333063655933$$
$$x_{22} = 67.5477561419489$$
$$x_{23} = 73.8305759400225$$
$$x_{24} = 76.9720111193216$$
$$x_{25} = 14.1637961865355$$
$$x_{26} = 4.84255834039212$$
$$x_{27} = 61.2650231149052$$
$$x_{28} = 58.1236989891669$$
$$x_{29} = 20.4365678012128$$
$$x_{30} = 36.1360296011875$$
$$x_{31} = 42.4177914906586$$
$$x_{32} = 92.6793655993772$$
Signos de extremos en los puntos:
(32.99539085912214, 3.49623653326273)
(7.914977693830208, 2.06490964318559)
(26.7149311915258, 3.28500939657186)
(51.84116445677586, 3.94813739322056)
(86.3963937735675, -4.45893091363236)
(2.127615825233441, 0.640951613895412)
(45.55884088943418, 3.81894162090863)
(54.98241035707053, -4.00697204664365)
(89.5378754494563, 4.49464784936066)
(80.11346025933112, -4.38342611095494)
(17.2990352355066, -2.85006479973796)
(70.6891567862013, 4.2582686940799)
(95.82086331358285, 4.56246850547861)
(48.69997058805509, -3.88562417153593)
(39.27684426803133, 3.67054684507133)
(98.96236780624047, -4.59472854333644)
(64.40637702122196, 4.16518371214019)
(83.25492163047046, 4.42189093263579)
(23.57536638710508, -3.15991774048714)
(29.854992010650733, -3.39618690740209)
(11.03330636559327, -2.39920964673997)
(67.54775614194894, -4.21280883436135)
(73.83057594002254, -4.30175163100997)
(76.9720111193216, 4.3434224340588)
(14.16379618653552, 2.6497493761583)
(4.8425583403921175, -1.56409787578554)
(61.26502311490521, -4.11517672431722)
(58.12369898916687, 4.06253705090375)
(20.43656780121277, 3.01692915004008)
(36.13602960118748, -3.58718368340644)
(42.417791490658566, -3.74749373479586)
(92.67936559937723, -4.52913300203105)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 86.3963937735675$$
$$x_{2} = 54.9824103570705$$
$$x_{3} = 80.1134602593311$$
$$x_{4} = 17.2990352355066$$
$$x_{5} = 48.6999705880551$$
$$x_{6} = 98.9623678062405$$
$$x_{7} = 23.5753663871051$$
$$x_{8} = 29.8549920106507$$
$$x_{9} = 11.0333063655933$$
$$x_{10} = 67.5477561419489$$
$$x_{11} = 73.8305759400225$$
$$x_{12} = 4.84255834039212$$
$$x_{13} = 61.2650231149052$$
$$x_{14} = 36.1360296011875$$
$$x_{15} = 42.4177914906586$$
$$x_{16} = 92.6793655993772$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{16} = 32.9953908591221$$
$$x_{16} = 7.91497769383021$$
$$x_{16} = 26.7149311915258$$
$$x_{16} = 51.8411644567759$$
$$x_{16} = 2.12761582523344$$
$$x_{16} = 45.5588408894342$$
$$x_{16} = 89.5378754494563$$
$$x_{16} = 70.6891567862013$$
$$x_{16} = 95.8208633135828$$
$$x_{16} = 39.2768442680313$$
$$x_{16} = 64.406377021222$$
$$x_{16} = 83.2549216304705$$
$$x_{16} = 76.9720111193216$$
$$x_{16} = 14.1637961865355$$
$$x_{16} = 58.1236989891669$$
$$x_{16} = 20.4365678012128$$
Decrece en los intervalos
$$\left[98.9623678062405, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4.84255834039212\right]$$