Sr Examen

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(sin(x))^log(x)
Trazado el gráfico de la función/ (sin(x))^log(x)

Gráfico de la función y = (sin(x))^log(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          log(x)   
f(x) = sin      (x)
f(x)=sin⁡log⁡(x)(x)f{\left(x \right)} = \sin^{\log{\left(x \right)}}{\left(x \right)} 
f = sin(x)^log(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)^log(x).
sin⁡log⁡(0)(0)\sin^{\log{\left(0 \right)}}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(log⁡(x)cos⁡(x)sin⁡(x)+log⁡(sin⁡(x))x)sin⁡log⁡(x)(x)=0\left(\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) \sin^{\log{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=28.2743335968778x_{1} = 28.2743335968778
x2=43.9822999303195x_{2} = 43.9822999303195
x3=95.8185759344887x_{3} = 95.8185759344887
x4=−67.5442420521806x_{4} = -67.5442420521806
x5=−23.5619449019235x_{5} = -23.5619449019235
x6=34.5575102919802x_{6} = 34.5575102919802
x7=87.9646391392182x_{7} = 87.9646391392182
x8=31.4159322743181x_{8} = 31.4159322743181
x9=14.1371669411541x_{9} = 14.1371669411541
x10=37.6991269715033x_{10} = 37.6991269715033
x11=1.5707963267949x_{11} = 1.5707963267949
x12=20.4203522483337x_{12} = 20.4203522483337
x13=−29.845130209103x_{13} = -29.845130209103
x14=58.1194640914112x_{14} = 58.1194640914112
x15=51.8362787842316x_{15} = 51.8362787842316
x16=−36.1283155162826x_{16} = -36.1283155162826
x17=−42.4115008234622x_{17} = -42.4115008234622
x18=−73.8274273593601x_{18} = -73.8274273593601
x19=−80.1106126665397x_{19} = -80.1106126665397
x20=7.85398163397448x_{20} = 7.85398163397448
x21=64.4026493985908x_{21} = 64.4026493985908
x22=72.2566269608694x_{22} = 72.2566269608694
Signos de extremos en los puntos:
(28.274333596877828, 1.3445575260442e-22)

(43.982299930319506, 9.49476593675163e-22)

(95.81857593448869, 1)

                        4.21278282098302 + pi*I 
(-67.54424205218055, 1                       )

                        3.15963290639167 + pi*I 
(-23.56194490192345, 1                       )

(34.55751029198021, 1.27983014653613e-18)

(87.96463913921819, 3.40983812423265e-20)

(31.41593227431806, 8.54880425218537e-19)

(14.137166941154069, 1)

(37.699126971503304, 3.19448837302019e-18)

(1.5707963267948966, 1)

(20.420352248333657, 1)

                         3.3960216844559 + pi*I 
(-29.845130209103036, 1                      )

(58.119464091411174, 1)

(51.83627878423159, 1)

                        3.5870769212186 + pi*I 
(-36.12831551628262, 1                      )

                         3.74741957129378 + pi*I 
(-42.411500823462205, 1                       )

                        4.30173030699951 + pi*I 
(-73.82742735936014, 1                       )

                        4.38340833801378 + pi*I 
(-80.11061266653972, 1                       )

(7.853981633974483, 1)

(64.40264939859077, 1)

(72.25662696086938, 8.48458802442072e-24)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x22=95.8185759344887x_{22} = 95.8185759344887
x22=−67.5442420521806x_{22} = -67.5442420521806
x22=−23.5619449019235x_{22} = -23.5619449019235
x22=14.1371669411541x_{22} = 14.1371669411541
x22=1.5707963267949x_{22} = 1.5707963267949
x22=20.4203522483337x_{22} = 20.4203522483337
x22=−29.845130209103x_{22} = -29.845130209103
x22=58.1194640914112x_{22} = 58.1194640914112
x22=51.8362787842316x_{22} = 51.8362787842316
x22=−36.1283155162826x_{22} = -36.1283155162826
x22=−42.4115008234622x_{22} = -42.4115008234622
x22=−73.8274273593601x_{22} = -73.8274273593601
x22=−80.1106126665397x_{22} = -80.1106126665397
x22=7.85398163397448x_{22} = 7.85398163397448
x22=64.4026493985908x_{22} = 64.4026493985908
Decrece en los intervalos
(−∞,−80.1106126665397]\left(-\infty, -80.1106126665397\right]
Crece en los intervalos
[95.8185759344887,∞)\left[95.8185759344887, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡log⁡(x)(x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty} \sin^{\log{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡log⁡(x)(x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty} \sin^{\log{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^log(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(sin⁡log⁡(x)(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{\log{\left(x \right)}}{\left(x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(sin⁡log⁡(x)(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{\log{\left(x \right)}}{\left(x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡log⁡(x)(x)=(−sin⁡(x))log⁡(−x)\sin^{\log{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = \left(- \sin{\left(x \right)}\right)^{\log{\left(- x \right)}}
- No
sin⁡log⁡(x)(x)=−(−sin⁡(x))log⁡(−x)\sin^{\log{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = - \left(- \sin{\left(x \right)}\right)^{\log{\left(- x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (sin(x))^log(x)
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