Integral de x(1-2x)2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 2 x \left(1 - 2 x\right)\, dx = 2 \int x \left(1 - 2 x\right)\, dx$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(1 - 2 x\right) = - 2 x^{2} + x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 x^{2}\right)\, dx = - 2 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x^{3}}{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      El resultado es: $- \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 x^{3}}{3} + x^{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(3 - 4 x\right)}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(3 - 4 x\right)}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(3 - 4 x\right)}{3}+ \mathrm{constant}$