Integral de x(1-2x)^2 dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $x \left(1 - 2 x\right)^{2} = 4 x^{3} - 4 x^{2} + x$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 4 x^{3}\, dx = 4 \int x^{3}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $x^{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 4 x^{2}\right)\, dx = - 4 \int x^{2}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 x^{3}}{3}$

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   El resultado es: $x^{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(6 x^{2} - 8 x + 3\right)}{6}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(6 x^{2} - 8 x + 3\right)}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(6 x^{2} - 8 x + 3\right)}{6}+ \mathrm{constant}$