Integral de (x^3)/(3x+3) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{x^{3}}{3 x + 3} = \frac{x^{2}}{3} - \frac{x}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \left(x + 1\right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x^{2}}{3}\, dx = \frac{\int x^{2}\, dx}{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{3}}{9}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x}{3}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{6}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \frac{1}{3}\, dx = \frac{x}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{3 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{3}$

      1. que $u = x + 1$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(x + 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{3}$

   El resultado es: $\frac{x^{3}}{9} - \frac{x^{2}}{6} + \frac{x}{3} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3}}{9} - \frac{x^{2}}{6} + \frac{x}{3} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3}}{9} - \frac{x^{2}}{6} + \frac{x}{3} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$