Integral de (x^3+15x)^6(x^2+5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{3} + 15 x$.

      Luego que $du = \left(3 x^{2} + 15\right) dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{6}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{6}\, du = \frac{\int u^{6}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{7}}{21}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x^{3} + 15 x\right)^{7}}{21}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x^{2} + 5\right) \left(x^{3} + 15 x\right)^{6} = x^{20} + 95 x^{18} + 3825 x^{16} + 84375 x^{14} + 1096875 x^{12} + 8353125 x^{10} + 34171875 x^{8} + 56953125 x^{6}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 95 x^{18}\, dx = 95 \int x^{18}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{18}\, dx = \frac{x^{19}}{19}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 x^{19}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3825 x^{16}\, dx = 3825 \int x^{16}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

         Por lo tanto, el resultado es: $225 x^{17}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 84375 x^{14}\, dx = 84375 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5625 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1096875 x^{12}\, dx = 1096875 \int x^{12}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $84375 x^{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8353125 x^{10}\, dx = 8353125 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $759375 x^{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 34171875 x^{8}\, dx = 34171875 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3796875 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 56953125 x^{6}\, dx = 56953125 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{56953125 x^{7}}{7}$

      El resultado es: $\frac{x^{21}}{21} + 5 x^{19} + 225 x^{17} + 5625 x^{15} + 84375 x^{13} + 759375 x^{11} + 3796875 x^{9} + \frac{56953125 x^{7}}{7}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{7} \left(x^{2} + 15\right)^{7}}{21}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{7} \left(x^{2} + 15\right)^{7}}{21}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{7} \left(x^{2} + 15\right)^{7}}{21}+ \mathrm{constant}$