Integral de (ln(3x+21))^3/(x+7) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(3 x + 21 \right)}$.

      Luego que $du = \frac{3 dx}{3 x + 21}$ y ponemos $du$:

      $\int u^{3}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(3 x + 21 \right)}^{4}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\log{\left(3 x + 21 \right)}^{3}}{x + 7} = \frac{\log{\left(x + 7 \right)}^{3} + 3 \log{\left(3 \right)} \log{\left(x + 7 \right)}^{2} + 3 \log{\left(3 \right)}^{2} \log{\left(x + 7 \right)} + \log{\left(3 \right)}^{3}}{x + 7}$

   2. que $u = x + 7$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{\log{\left(u \right)}^{3} + 3 \log{\left(3 \right)} \log{\left(u \right)}^{2} + 3 \log{\left(3 \right)}^{2} \log{\left(u \right)} + \log{\left(3 \right)}^{3}}{u}\, du$

      1. que $u = \frac{1}{u}$.

         Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 3 \log{\left(3 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 3 \log{\left(3 \right)}^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + \log{\left(3 \right)}^{3}}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 3 \log{\left(3 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 3 \log{\left(3 \right)}^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + \log{\left(3 \right)}^{3}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 3 \log{\left(3 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 3 \log{\left(3 \right)}^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + \log{\left(3 \right)}^{3}}{u}\, du$

            1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

               $\int \left(- u^{3} - 3 u^{2} \log{\left(3 \right)} - 3 u \log{\left(3 \right)}^{2} - \log{\left(3 \right)}^{3}\right)\, du$

               1. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- u^{3}\right)\, du = - \int u^{3}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 3 u^{2} \log{\left(3 \right)}\right)\, du = - 3 \log{\left(3 \right)} \int u^{2}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- u^{3} \log{\left(3 \right)}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 3 u \log{\left(3 \right)}^{2}\right)\, du = - 3 \log{\left(3 \right)}^{2} \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{2} \log{\left(3 \right)}^{2}}{2}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \left(- \log{\left(3 \right)}^{3}\right)\, du = - u \log{\left(3 \right)}^{3}$

                  El resultado es: $- \frac{u^{4}}{4} - u^{3} \log{\left(3 \right)} - \frac{3 u^{2} \log{\left(3 \right)}^{2}}{2} - u \log{\left(3 \right)}^{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4} - \log{\left(3 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} - \frac{3 \log{\left(3 \right)}^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2} - \log{\left(3 \right)}^{3} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4} + \log{\left(3 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + \frac{3 \log{\left(3 \right)}^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2} + \log{\left(3 \right)}^{3} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(u \right)}^{4}}{4} + \log{\left(3 \right)} \log{\left(u \right)}^{3} + \frac{3 \log{\left(3 \right)}^{2} \log{\left(u \right)}^{2}}{2} + \log{\left(3 \right)}^{3} \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(x + 7 \right)}^{4}}{4} + \log{\left(3 \right)} \log{\left(x + 7 \right)}^{3} + \frac{3 \log{\left(3 \right)}^{2} \log{\left(x + 7 \right)}^{2}}{2} + \log{\left(3 \right)}^{3} \log{\left(x + 7 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(3 x + 21 \right)}^{4}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(3 x + 21 \right)}^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(3 x + 21 \right)}^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$