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Resolución de integrales/ cos^2/ sin*3*x/ cos^2*3*x*sin*3*x

Integral de cos^2*3*x*sin*3*x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
  /                      
 |                       
 |     2                 
 |  cos (3)*x*sin(3*x) dx
 |                       
/                        
0
∫01xcos⁡2(3)sin⁡(3x) dx\int\limits_{0}^{1} x \cos^{2}{\left(3 \right)} \sin{\left(3 x \right)}\, dx 
Integral((cos(3)^2*x)*sin(3*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=xcos⁡2(3)u{\left(x \right)} = x \cos^{2}{\left(3 \right)} y que dv⁡(x)=sin⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}.

    Entonces du⁡(x)=cos⁡2(3)\operatorname{du}{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(3 \right)}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. que u=3xu = 3 x.

      Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

      ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−cos⁡2(3)cos⁡(3x)3) dx=−cos⁡2(3)∫cos⁡(3x) dx3\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(3 \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{\cos^{2}{\left(3 \right)} \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{3}

    1. que u=3xu = 3 x.

      Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

      ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

    Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(3x)cos⁡2(3)9- \frac{\sin{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(3 \right)}}{9}

  3. Ahora simplificar:

    (−3xcos⁡(3x)+sin⁡(3x))cos⁡2(3)9\frac{\left(- 3 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right) \cos^{2}{\left(3 \right)}}{9}

  4. Añadimos la constante de integración:

    (−3xcos⁡(3x)+sin⁡(3x))cos⁡2(3)9+constant\frac{\left(- 3 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right) \cos^{2}{\left(3 \right)}}{9}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(−3xcos⁡(3x)+sin⁡(3x))cos⁡2(3)9+constant\frac{\left(- 3 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right) \cos^{2}{\left(3 \right)}}{9}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                 
 |                                2                    2            
 |    2                        cos (3)*sin(3*x)   x*cos (3)*cos(3*x)
 | cos (3)*x*sin(3*x) dx = C + ---------------- - ------------------
 |                                    9                   3         
/
∫xcos⁡2(3)sin⁡(3x) dx=C−xcos⁡2(3)cos⁡(3x)3+sin⁡(3x)cos⁡2(3)9\int x \cos^{2}{\left(3 \right)} \sin{\left(3 x \right)}\, dx = C - \frac{x \cos^{2}{\left(3 \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)} \cos^{2}{\left(3 \right)}}{9}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.01.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
   2    /  cos(3)   sin(3)\
cos (3)*|- ------ + ------|
        \    3        9   /
(sin⁡(3)9−cos⁡(3)3)cos⁡2(3)\left(\frac{\sin{\left(3 \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(3 \right)}}{3}\right) \cos^{2}{\left(3 \right)} 
=
= 
   2    /  cos(3)   sin(3)\
cos (3)*|- ------ + ------|
        \    3        9   /
(sin⁡(3)9−cos⁡(3)3)cos⁡2(3)\left(\frac{\sin{\left(3 \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(3 \right)}}{3}\right) \cos^{2}{\left(3 \right)} 
cos(3)^2*(-cos(3)/3 + sin(3)/9)
Respuesta numérica [src] 
0.33879338189888
0.33879338189888

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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