Integral de (x^2-x)*((-2*x^2+x-2)+a*(2-2*x^3+2*x^2-x)+b*(6*x-2-3*x^4+3*x^3-x^2)+c*(12*x^2-6*x-4*x^5+4*x^4-x^3)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- 2 a u^{5} - 4 a u^{4} - 3 a u^{3} - 3 a u^{2} - 2 a u + 3 b u^{6} + 6 b u^{5} + 4 b u^{4} + 7 b u^{3} + 8 b u^{2} + 2 b u - 4 c u^{7} - 8 c u^{6} - 5 c u^{5} - 13 c u^{4} - 18 c u^{3} - 6 c u^{2} + 2 u^{4} + 3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 u^{7} c\right)\, du = - 4 c \int u^{7}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{8} c}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{6} b\, du = 3 b \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{7} b}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 8 u^{6} c\right)\, du = - 8 c \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 u^{7} c}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u^{5} a\right)\, du = - 2 a \int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{6} a}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 u^{5} b\, du = 6 b \int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{6} b$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 5 u^{5} c\right)\, du = - 5 c \int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 u^{6} c}{6}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 u^{4} a\right)\, du = - 4 a \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 u^{5} a}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 u^{4} b\, du = 4 b \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{5} b}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 13 u^{4} c\right)\, du = - 13 c \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{13 u^{5} c}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 u^{3} a\right)\, du = - 3 a \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{4} a}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 7 u^{3} b\, du = 7 b \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7 u^{4} b}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 18 u^{3} c\right)\, du = - 18 c \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 u^{4} c}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{3}\, du = 3 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{4}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 u^{2} a\right)\, du = - 3 a \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- u^{3} a$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 8 u^{2} b\, du = 8 b \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 u^{3} b}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 6 u^{2} c\right)\, du = - 6 c \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 u^{3} c$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{2}\, du = 3 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u a\right)\, du = - 2 a \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2} a$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u b\, du = 2 b \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{2} b$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$

         El resultado es: $- \frac{u^{8} c}{2} + \frac{3 u^{7} b}{7} - \frac{8 u^{7} c}{7} - \frac{u^{6} a}{3} + u^{6} b - \frac{5 u^{6} c}{6} - \frac{4 u^{5} a}{5} + \frac{4 u^{5} b}{5} - \frac{13 u^{5} c}{5} + \frac{2 u^{5}}{5} - \frac{3 u^{4} a}{4} + \frac{7 u^{4} b}{4} - \frac{9 u^{4} c}{2} + \frac{3 u^{4}}{4} - u^{3} a + \frac{8 u^{3} b}{3} - 2 u^{3} c + u^{3} - u^{2} a + u^{2} b + u^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{a x^{6}}{3} + \frac{4 a x^{5}}{5} - \frac{3 a x^{4}}{4} + a x^{3} - a x^{2} - \frac{3 b x^{7}}{7} + b x^{6} - \frac{4 b x^{5}}{5} + \frac{7 b x^{4}}{4} - \frac{8 b x^{3}}{3} + b x^{2} - \frac{c x^{8}}{2} + \frac{8 c x^{7}}{7} - \frac{5 c x^{6}}{6} + \frac{13 c x^{5}}{5} - \frac{9 c x^{4}}{2} + 2 c x^{3} - \frac{2 x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{4} - x^{3} + x^{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x^{2} - x\right) \left(c \left(- x^{3} + \left(4 x^{4} + \left(- 4 x^{5} + \left(12 x^{2} - 6 x\right)\right)\right)\right) + \left(b \left(- x^{2} + \left(3 x^{3} + \left(- 3 x^{4} + \left(6 x - 2\right)\right)\right)\right) + \left(a \left(- x + \left(2 x^{2} + \left(2 - 2 x^{3}\right)\right)\right) + \left(\left(- 2 x^{2} + x\right) - 2\right)\right)\right)\right) = - 4 c x^{7} - x^{6} \left(3 b - 8 c\right) - x^{5} \left(2 a - 6 b + 5 c\right) - x^{4} \left(- 4 a + 4 b - 13 c + 2\right) - x^{3} \left(3 a - 7 b + 18 c - 3\right) - x^{2} \left(- 3 a + 8 b - 6 c + 3\right) - x \left(2 a - 2 b - 2\right)$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 c x^{7}\right)\, dx = - 4 c \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{c x^{8}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{6} \left(3 b - 8 c\right)\right)\, dx = \left(- 3 b + 8 c\right) \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{7} \left(- 3 b + 8 c\right)}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{5} \left(2 a - 6 b + 5 c\right)\right)\, dx = \left(- 2 a + 6 b - 5 c\right) \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{6} \left(- 2 a + 6 b - 5 c\right)}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{4} \left(- 4 a + 4 b - 13 c + 2\right)\right)\, dx = \left(4 a - 4 b + 13 c - 2\right) \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{5} \left(4 a - 4 b + 13 c - 2\right)}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{3} \left(3 a - 7 b + 18 c - 3\right)\right)\, dx = \left(- 3 a + 7 b - 18 c + 3\right) \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4} \left(- 3 a + 7 b - 18 c + 3\right)}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2} \left(- 3 a + 8 b - 6 c + 3\right)\right)\, dx = \left(3 a - 8 b + 6 c - 3\right) \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{3} \left(3 a - 8 b + 6 c - 3\right)}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x \left(2 a - 2 b - 2\right)\right)\, dx = \left(- 2 a + 2 b + 2\right) \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2} \left(- 2 a + 2 b + 2\right)}{2}$

      El resultado es: $- \frac{c x^{8}}{2} + \frac{x^{7} \left(- 3 b + 8 c\right)}{7} + \frac{x^{6} \left(- 2 a + 6 b - 5 c\right)}{6} + \frac{x^{5} \left(4 a - 4 b + 13 c - 2\right)}{5} + \frac{x^{4} \left(- 3 a + 7 b - 18 c + 3\right)}{4} + \frac{x^{3} \left(3 a - 8 b + 6 c - 3\right)}{3} + \frac{x^{2} \left(- 2 a + 2 b + 2\right)}{2}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x^{2} - x\right) \left(c \left(- x^{3} + \left(4 x^{4} + \left(- 4 x^{5} + \left(12 x^{2} - 6 x\right)\right)\right)\right) + \left(b \left(- x^{2} + \left(3 x^{3} + \left(- 3 x^{4} + \left(6 x - 2\right)\right)\right)\right) + \left(a \left(- x + \left(2 x^{2} + \left(2 - 2 x^{3}\right)\right)\right) + \left(\left(- 2 x^{2} + x\right) - 2\right)\right)\right)\right) = - 2 a x^{5} + 4 a x^{4} - 3 a x^{3} + 3 a x^{2} - 2 a x - 3 b x^{6} + 6 b x^{5} - 4 b x^{4} + 7 b x^{3} - 8 b x^{2} + 2 b x - 4 c x^{7} + 8 c x^{6} - 5 c x^{5} + 13 c x^{4} - 18 c x^{3} + 6 c x^{2} - 2 x^{4} + 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 a x^{5}\right)\, dx = - 2 a \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{a x^{6}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 a x^{4}\, dx = 4 a \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 a x^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 a x^{3}\right)\, dx = - 3 a \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 a x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 a x^{2}\, dx = 3 a \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $a x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 a x\right)\, dx = - 2 a \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- a x^{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 b x^{6}\right)\, dx = - 3 b \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 b x^{7}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 b x^{5}\, dx = 6 b \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $b x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 b x^{4}\right)\, dx = - 4 b \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 b x^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7 b x^{3}\, dx = 7 b \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7 b x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 8 b x^{2}\right)\, dx = - 8 b \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 b x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 b x\, dx = 2 b \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $b x^{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 c x^{7}\right)\, dx = - 4 c \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{c x^{8}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8 c x^{6}\, dx = 8 c \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 c x^{7}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 5 c x^{5}\right)\, dx = - 5 c \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 c x^{6}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 13 c x^{4}\, dx = 13 c \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{13 c x^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 18 c x^{3}\right)\, dx = - 18 c \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 c x^{4}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 c x^{2}\, dx = 6 c \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 c x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 x^{4}\right)\, dx = - 2 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{3}\, dx = 3 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 x^{2}\right)\, dx = - 3 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

      El resultado es: $- \frac{a x^{6}}{3} + \frac{4 a x^{5}}{5} - \frac{3 a x^{4}}{4} + a x^{3} - a x^{2} - \frac{3 b x^{7}}{7} + b x^{6} - \frac{4 b x^{5}}{5} + \frac{7 b x^{4}}{4} - \frac{8 b x^{3}}{3} + b x^{2} - \frac{c x^{8}}{2} + \frac{8 c x^{7}}{7} - \frac{5 c x^{6}}{6} + \frac{13 c x^{5}}{5} - \frac{9 c x^{4}}{2} + 2 c x^{3} - \frac{2 x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{4} - x^{3} + x^{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(- 140 a x^{4} + 336 a x^{3} - 315 a x^{2} + 420 a x - 420 a - 180 b x^{5} + 420 b x^{4} - 336 b x^{3} + 735 b x^{2} - 1120 b x + 420 b - 210 c x^{6} + 480 c x^{5} - 350 c x^{4} + 1092 c x^{3} - 1890 c x^{2} + 840 c x - 168 x^{3} + 315 x^{2} - 420 x + 420\right)}{420}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(- 140 a x^{4} + 336 a x^{3} - 315 a x^{2} + 420 a x - 420 a - 180 b x^{5} + 420 b x^{4} - 336 b x^{3} + 735 b x^{2} - 1120 b x + 420 b - 210 c x^{6} + 480 c x^{5} - 350 c x^{4} + 1092 c x^{3} - 1890 c x^{2} + 840 c x - 168 x^{3} + 315 x^{2} - 420 x + 420\right)}{420}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(- 140 a x^{4} + 336 a x^{3} - 315 a x^{2} + 420 a x - 420 a - 180 b x^{5} + 420 b x^{4} - 336 b x^{3} + 735 b x^{2} - 1120 b x + 420 b - 210 c x^{6} + 480 c x^{5} - 350 c x^{4} + 1092 c x^{3} - 1890 c x^{2} + 840 c x - 168 x^{3} + 315 x^{2} - 420 x + 420\right)}{420}+ \mathrm{constant}$