Integral de x(3x^2+5)^6 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x^{2} + 5$.

      Luego que $du = 6 x dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

      $\int \frac{u^{6}}{6}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{6}\, du = \frac{\int u^{6}\, du}{6}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{7}}{42}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(3 x^{2} + 5\right)^{7}}{42}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(3 x^{2} + 5\right)^{6} = 729 x^{13} + 7290 x^{11} + 30375 x^{9} + 67500 x^{7} + 84375 x^{5} + 56250 x^{3} + 15625 x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 729 x^{13}\, dx = 729 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{729 x^{14}}{14}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7290 x^{11}\, dx = 7290 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1215 x^{12}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 30375 x^{9}\, dx = 30375 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6075 x^{10}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 67500 x^{7}\, dx = 67500 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16875 x^{8}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 84375 x^{5}\, dx = 84375 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{28125 x^{6}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 56250 x^{3}\, dx = 56250 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{28125 x^{4}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 15625 x\, dx = 15625 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{15625 x^{2}}{2}$

      El resultado es: $\frac{729 x^{14}}{14} + \frac{1215 x^{12}}{2} + \frac{6075 x^{10}}{2} + \frac{16875 x^{8}}{2} + \frac{28125 x^{6}}{2} + \frac{28125 x^{4}}{2} + \frac{15625 x^{2}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(3 x^{2} + 5\right)^{7}}{42}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(3 x^{2} + 5\right)^{7}}{42}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(3 x^{2} + 5\right)^{7}}{42}+ \mathrm{constant}$